第1章 非参数统计引论(非参数统计,西南财大).doc

非参数统计第一章
非参数统计分析
第一章引言
§1.1关于非参数统计
在初等统计学中，最基本的概念是总体，样本，随机变量，分布，估计和假设检验等．其很大一部分内容是和正态理论相关的。在那里，总体的分布形式或分布族往往是给定的或者是假定了的，所不知道的仅仅是一些参数的值或他们的范围。于是，人们的任务就是对一些参数，比如均值和方差(或标准差)，进行点估计或区间估计，或者是对某些参数值进行各种检验，比如检验正态分布的均值是否相等或等于零等等．最常见的检验为对正态总体的t—检验，F—检验，和最大似然比检验等．
然而，在实际生活中，那种对总体的分布的假定并不是能随便做出的。有时，数据并不是来自所假定分布的总体；或者，数据根本不是来自一个总体；还有可能，数据因为种种原因被严重污染。这样，在假定总体分布的情况下进行推断的做法就可能产生错误的结论。于是，人们希望在不假定总体分布的情况下，尽量从数据本身来获得所需要的信息。这就是非参数统计的宗旨。因为非参数统计方法不利用关于总体分布的知识，所以，就是在对于总体分布的任何知识都没有的情况下，它也能很容易而又很可靠地获得结论．这时，非参数方法往往优于参数方法。然而，在总体的分布族已知的情况下，不需要任何先验知识就成为它的缺点；因为它没有充分利用已知的关于总体分布的信息，所做出的结论就不如参数方法得到的精确．
在不知总体分布的情况下如何利用数据所包含的信息呢?一组数据的最基本的信息就是次序．如果可以把数据点按大小次序排队，每一个具体数目都有它的在整个数据中(从最小的数起)的位置或次序，称为该数据的秩(rank)．数据有多少个观察值，就有多少个秩．在一定的假定下，这些秩和它们的统计量的分布是求得出来的，而且和原来的总体分布无关．这样就可以进行所需要的统计推断。
注意，非参数统计的名字中的“非参数(nonparametric)”意味着其方法不涉及描述总体分布的有关参数；它被称为和分布无关(distribution—free)，是因为其推断方法和总体分布无关；不应理解为与所有分布(例如有关秩的分布)无关．
§1.2顺序统计量，秩和线性秩统计量
一、顺序统计量
因为非参数方法通常并不假定总体分布。因此，观测值的顺序及性质则作为研究的对象。
1、顺序统计量：对于样本X1，X2，X3，…，Xn，如果按照升幂排列，得到

称为第个顺序统计量。
2、基于顺序统计量的统计量
中位数
极差
3、顺序统计量分布函数
设总体的分布函数F(X)，则第r个顺序统计量的分布函数为

（4）顺序统计量密度函数

二、秩统计量
1、秩统计量
设X1，X2，X3，…，Xn来自总体的样本，记为样本点的秩，即
=
其中
是固定的。它等于小于或等于的的个数。
例如：
原始观测值5.61.42.75.22.64.82.3秩71463522、秩统计量的分布和数字特征
●的联合分布为:
●的概率分布为：
●的数学期望：
●的方差：
3、线性符号秩统计量：设为|X1|，|X2|，|X3|，…，|Xn|中的秩，定义为整数1，2，…，n上的非降函数，满足，则称

如果X1，X2，X3，…，Xn为独立同分布的连续随机变量，并有关于0的对称分布，则
＝

4、线性秩统计量：
设X1，X2，X3，…，XN为样本，Ri为Xi在X1，X2，X3，…，XN中的秩。又定义和为定义在1，2，…，N上的函数，则称

为线性秩统计量。称为记分函数。称为回归常数。
定理记和，则
，。
证因为

所以

又因为

例设X1，X2，X3，…，XN为样本，对秩和统计量W＝，有，0或1，视或否,有

故

5、正态记分线性秩统计量
令中的，是标准正态分布函数的的反函数。则称为正态记分线性秩统计量。

第二章单样本非参数检验
在有了一个样本之后，很自然地想要知道它所代表的总体的“中心”在哪里．例如，在对人们的收入进行了抽样之后，就自然要涉及“人均收入”和“中间收入”等概念．这就与统计中的对总体的均值(mean)，中位数(median)和众数(mode)等位置参数的推断有关。例如，在知道总体是正态分布时，要检验其均值是否为；一个传统的基于正态理论的典型方法是t检验．它的检验统计量定义为

这里为样本均值，而为样本标准差。t—检验的统计量在零假设下有n—1个自由度的t—分布。检验统计量是用样本标准差s代替了有标准正态分布的检验统计量的总体标准差后而产生的在大样本时，二者几乎相等。t—检验也许是世界上用得最广泛的检验之一。但是，t—检验并不稳健，在不知总体分布时，特别是小样本时，应用t—检验就可能有风险。这时就要考虑使用非参数方法。对于本章所要介绍的数据趋势或随机性检验，就不存在简单的参数方法．非参数方法总是简单实用的。
本章所