第11章 非参数回归(非参数统计,西南财大).doc

非参数回归
第十二章非参数回归及其相关问题
第一节参数回归问题的回顾
在线性回归模型中，我们总是假定总体回归函数是线性的，即
多元线性回归模型一般形式为：

总体回归函数（PRF）

但是，经验和理论都证明，当不是线性函数时，基于最小二乘的回归效果不好，非参数回归就是在对的形式不作任何假定的前提下研究估计。
例设二维随机变量，其密度函数为
，求.
解：

从例可知，仅与有关，条件期望表明Y与X在条件期望的意义下相关。
由样本均值估计总体均值的思想出发，假设样本，，…，中有相当恰好等于，，不妨记为，，…，，自然可取相应的的样本，，…，，用他们的平均数去估计。可是在实际问题中，一般不会有很多的值恰好等于。这个估计式，仿佛是一个加权平均数，对于所有的，如果等于，则赋予的权，如果不等于，则赋予零权。由此可启发我们在思路上产生了一个飞跃。即对于任一个，用的加权和去估计，即，其中，估计。问题是如何赋权，一种合乎逻辑的方法是，等于或靠非常近的那些，相应的权大一些，反之小权或零权。
两种模式：
设上的随机变量，为的次观测值。实际应用中，为非随机的，依条件独立，在理论上非参数回归中既可以是非随机的，也可以是随机的。而参数回归分析中，我们总是假定为非随机的。
根据的不同非参数回归有两种模式。
1、为随机时的非参数回归模型
设，，为的随机样本。存在没个未知的实值函数，使得

一般记为

这里，，如果，则
2、为非随机时的非参数回归模型
由于在实际中，研究者或试验者一般可以控制X或预先指定X，这时X可能不再是随机变量，例如年龄与收入之间的关系中年龄为固定时，收入的分布是已知的，不存在X为随机变量时，估计的问题。
设，，为的随机样本设的随
机变量，为的次独立观测值，则

，，。
第二节一元非参数回归核估计方法
一、核估计
(一)Nadaraya-Watson估计
核权函数是最重要的一种权函数。为了说明核函数估计，我们回忆二维密度估计
(1)
而
(2)
在这个密度函数估计中，核函数必须相等，光滑参数可以不等，光滑参数不等时，有

将（2）代入（1）的分子，得

令，则

又由有对称性，则，，得1式的分子为
分子＝
分母＝

可以看出对的估计，是密度函数估计的一种自然推广，一般也称为权函数估计
其中
可以看出权函数完全由确定，其取值与X的分布有关，称为N-W估计。
可以推得：

所以，核估计等价于局部加权最小二乘法。
二、窗宽的选择
令
根据非参数估计

当，的分子和分母中除了当的项不为零，其它均为零，故

这说明当窗宽趋于0时，点的估计值趋于该点的观测值。
当，的分子和分母中每一项，则。说明当窗宽趋于无穷时，则每一点的估计值均为Y的观测值的平均值。
可见窗宽的控制是核估计精度的重要参数。太小估计线欠平滑，太大过于平滑。
理论窗宽的最佳选择
记，
当解释变量为随机的情形时，的渐近偏差和渐近方差为：
估计方法渐近偏差渐近方差N-W方法其中为解释变量的密度函数，。
估计的均方误差

回归函数m(x)估计的渐近方差随着窗宽见效而增大，渐近偏差随着减小而减小。所以非参数估计就是在估计的盘查和方差中寻求平衡，使均方误差达到最小。
理论的最佳窗宽。
样本窗宽的交错鉴定
哪一个窗宽是比较恰当的，必须通过样本的资料考察，但是我们的样本仅仅有一个。在某个局部观测点，首先，在样本中剔除该观测值点，用剩余的n-1个点在处进行核估计：

最后比较平方拟合误差，使最小的窗宽，则是最佳的。
窗宽的经验选择方法
当K(.)为【－1，1】上对称、单峰的概率密度时，是集中在x附近的加权平均，由于x为对称的，以为宽度，当太大时，参加的平均点多，会提高精度，但可能偏差会增大。反之小则相反。所以应该根据散点图来选择窗宽。
三、核函数的选择
因为
估计方法渐近偏差渐近方差N-W方法所以渐近均方误差为：

其中和是与核函数无关的量，对MSE求h的导数，则最佳的窗宽为：

将代入MSE，得

最优的核函数是使达到最小的核函数。
四、核估计的性质（略）
作为估计量，非参数回归函数核估计有一些优良性质。
一元非参数回归模型的局部估计
局部多项式回归
局部多项式估计（Loess）是另一种非参数回归的曲线拟合方法。它在每一自变量值处拟合一个局部多项式，可以是零阶、一阶、二阶，零阶时与核估计相同。

为了研究某经济变量Ｙ的变化规律，一个常用的方法就是找出影响Ｙ的相关经济变量Ｘ，回归表达式未知，Ｙ为被解释变量，为解释变量。，其中ｕ为随机误差项。假设有样本，在处相应阶导数存在（可取），我们要估计。
如果假定在处p阶导数存在，则将在的某领域按泰勒级数展开

记，，
原模型为

上式为一个多项式回归模型，且对的估计依赖于其局部的点。从模型我们可以看出，是在