不等式证明中的函数构造法.pdf

中学数学教学年第期
5020143

不等式证明中的函数构造法

广州市广外附设外语学校查建敏(邮编:)
510450

在高考的压轴题中经常会将数列求和与不研究fx的函数性质可得f′x=
()()
等关系的证明结合在一起由于涉及数列求和的x-2
,(1)可知fx在x的区间上单
各种知识方法与不等式放缩去除常规的方法xx+2≥0,,()>0
、,(1)
外有时要通过构造数列函数建立不等关系来调递增所以当x有fxf=即有
,、,,>1,()>(1)0,
求解其中的函数是如何发现与构造的呢我们x-
,?x1问题得解.
ln>x+,
通过以下的两个例子的解题思路分析来揭示它1
的奥秘与大家分享.所以n+1+1++1.
,ln(1)>…n+
3521
问题1求证n+1+1+1+评析解决本题的第一个关键是对n+
:ln(1)>…ln(
357的分拆要将它看作是某一个数列的和这里
1),,
+1.是从对数的运算性质中联想得到了中间数列
n+bn
21
n+使得问题转化为研究
我们知道1+1+1++1不能简=1bnan=
…n+lnn≥
35721
第二个关键是证明不等关系
单求和考虑简单放大通项1如何与n1x
,,n+ln(n+;ln>
2121
+联系起来无从下手.那么我们设想是否可x-从而构造出函数x-证
1),1fx=x-1
以找到一个中间数列使得x+,()lnx+,
bn11
{},,明当有
且xfxf=.
n+=b+b++bnbnan>1,()>(1)0
ln(1)12…,≥实际上为了降低考试的难度在高考命题
,,
=1中通常需要设置一些台阶以题组的形式出现
n+,
21,,
根据对数的运算性质分析联想有来考察考生本题可以改造为以下的命题
,:,:
b+b++bna
12…已知函数fx=x+aR
()lnx+,(∈)
n+1
231
=++…+
lnlnlnn当a9时如果函数xxk
12()=,g()=f()-
n1
=(+),2
ln1仅有一个零点求实数k的取值范围.
n+,
这样我们就找到了数列bn1
=,当a=时试比较fx与的大小
lnn(2)2,()1;
进一步的问题要研究是否有k+根据的结论求证n+1+
1(3)(2),:ln(1)>
lnk3
11+1++1.
,…n+
>k+5721
21再看一个类似的问题
k+x-
于是令1=x则1=1.:
k,k+x+问题2设数列{an}的通项公式an=
211
则问题转化为要有x-n+
x121的前n项和Sn求证Snn
ln>x+,,:(+
1n≥2ln
x-.
因而我们构造函数fx=x-1)
()lnx+,1
1
年第期中学数学教学
2014351

再议一道课本习题的解法及推广

安徽省阜阳市红旗中学张震吴冬梅(邮编:)
236112

文和文读后深受启发文提供若α=-β=
[1][2],,[1]1,3,
的解法略显繁琐文指出的解法简洁尚存较则an++an=an+an-n.
,[2]13(1)(≥2)
高的技巧性在应用上有一定的难度下面笔者n=时a+a=
,,2,217≠0,
n-
给出一些简洁而易想的解法并以此给以推广.an++an=1.
,∴17·3①
题已知数列中
ana=a=an=若α=β=-
{},15,22,3,1,
an-+an-nnN∗对于这个数列的则an+-an=-an-an-n.
2132(≥3,∈),13(31)(≥2)
通项公式作一研究能否写出它的通项公式n=时a-a=-
,?2,23113≠0,
n-
解法1待定系数法an+-an=-×-1
∴1313(1),②
n-n-
anan-an-nnN∗11
=1+2+-
23,(≥3,∈)-an=7·313·(1).
①②,
an+=an+an-nnN∗
1231,(≥2,∈)4
推广已知aa及an+=Aan+Ban-n
设待定系数为α则an+-αan=an1211
、β,1β(、(
nN∗AB为常数求an.
-αan-
1),≥2,∈,、)
即解引入待定系数α
an+=α+βan-αβan-β
1()1,、,
an+AanBan-nnN∗AB为
α1=+1
+β=,(≥2,∈,、
2常数
∴{αβ=-
3,)③
或an+-αan=an-αan-
α=-β=α=β=-.1β1
∴1,3,3,1∴()④

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=n+.类似地我们也可以编制出这
分析由上例已知b+b++bn=22ln(1)
12…ln样的命题
1:
n+
+3++1=n+已知函数fx=px-p-xp
ln…lnnln(1),()ln(>0)
2是增函数
问题转化为证明anbn,
,
≥2求实数p的取值范围
n+n+n+(1);
即an=21=21