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构造函数巧证不等式
江苏省范文哲
不等式的证明，不但要掌握比较法、综合法、分析法等常用方法外，还经常会用到一些其他方法，如构造法、函数法等。对如何构造函数来证明不等式，本文通过以下几例说明：
设，求证：。
分析：很多学生在初拿到这题时容易考虑利用均值不等式采用综合法证明，从而陷入其中而得不到结果；但是我们经过仔细观察，由于不等式的左边是函数与它自身的复合。因此，我们可以将要证明不等式转化为求函数在上的最小值的问题。
证明：根据不等式左边的特征以及，构造函数。易证在区间上单调递增，故当时，有最小值，因为，所以。
已知：求证：
证明：不等式左边=，
设。
构造函数，又因为在上单调递减，所以，所以。
点评：本题从题目中不能直接构造函数进行解题，只有通过把左边进行化简以后再构造函数，但要注意的是化简过后要考虑到变量的范围变化。

证明柯西不等式：

证明：构造二次函数

，
所以
所以。
点评：本题在选择证法时，多数同学首选分析法，将不等式的左右两端展开，但由于涉及的项数太多，不易将证明进行到底，这种方法不仅简洁而且可以推广证明下列不等式。如：
（1）
（2）