构造法证明不等式例谈.pdf

万方数据

淘L—求证：√W+、层—彳r孑F+等‘≯．．+等+詈现。％”q“构造法证明不等式例谈x菇t_L：_+x_毛L+-．．+等+署巩¨：+．“¨。．等+以≥2钆l，_Xn+省l≥2％中‘7歆·7(2008年第2期·高中版)·以丁习—7+次r习—币了矿≥2厄-蕾I_L_+戈2≥2石l，i+聋3≥2茗2，⋯，·教学论坛·I+tMCt≥IACI=厄，IMBI+IMDI≥IBDI=厄，设算。，菇：，戈3，Y。，Y2，Y3∈R且满足戈：+《+髫；≤1．2+戈；+戈；一1)(y2。+Z+Z一1)．证明当戈：+戈；+z；=1时，原不等式成立，当菇：+菇；+并；<1时，构造二次函数，八t)=(戈：+髫；+菇2，一1)t2—2(菇I，，l+X2Y2+x3y3—1)t+(Y：+托2+y32—1)，163316黑龙江省大庆实验中学腾文秀不等式是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有着举足轻重的地位，不等式的证明方法很多，技巧性很强，所以不等式的证明历来是高中数学的一个难点．本文仅就构造法证明不等式谈一点粗浅的看法．1整体观察。局部构造有些不等式的证明，若从整体上考虑难以下手，可构造若干个结构完全相同的局部不等式，逐一证明后，再利用同向不等式相加的性质，即可得证．例1设省。，菇：，⋯，％是乃个正数，求证：证明曲于题中这些正数具有对称性，只有当茗。=茗：=⋯‰时，等号才成立，因此构造局部不等式如下：将上述n个同向不等式相加，并整理得：原不等式得证．2形式类比，构造图形如果问题中的数量关系具有明显的几何意义或以某种方式可与几何图形建立联系，那么从数形结合、数形转化的角度出发，构造几何图形，将题设的条件及数量关系直接在图形中得到实现，通过几何图形的直观性获解．例2证明从不等式的形式出发，左端的四个式子，可以看作是两点间距离公式．设M(x，Y)，A(O，O)，B(O，1)，C(1，1)，则正方形ABCD的边长为1，IMAI+IMBI+IMCI+IMCt≥2√E故原不等式成立．3结构对称，构造函数根据代数式的特征(如结构的对称性)，构造适当的函数，借助函数的性质，来证明不等式，也是一种常用的构造方法．已知IaI<1，IbI<1，Icl<1，求证：证明原不等式即为：(b+c)口+6c+1>O①将口看作自变量，只须证：当一1<口<l时，(b+c)口+6c+1恒为正数．因而可构造函数厂(口)=(b+c)口+6c+1(一1<口<1)，若b+c=0，原不等式显然成立．若b+c≠O，则厂(口)是口的一次函数／(口)在(一1，1)上为单调函数，而，(一1)=一b—c+6c+1=(1一b)(1一c)>O，f(1)=b+c+6c+l=(1+6)(1+c)>0，，(口)>0即口6+6c+c口>一1：4洞察联系，构造方程对于要证明“A·C≥(或≤)驴”这类不等式，我们先把不等式变形为：4A·C≥(或≤)(2日)2，然后构造一个二次函数八茗)=Ax2一(2B)茗+c，再证明其判别式A≤0(或A≥0)．求证：(x,yl+X2Y2+X3y3—1)2≥(戈l——+——+⋯+——+——≥菇。+茗．+⋯+髫．．D(1，O)IMA例3例45口6+6c+Ca,>一1．8AD茗2戈3茗n茗l菇2茗3并^善ll，y、t2石．2。2。‘”—，’一．“I·．’．·．，．’．。．

万方数据

设‰2———赢百坐例8求证专·÷．．．等<去2————了菰i厅r—一’吼2———1焉磊-一M飙亚因此数列{口。1是递增数列，口。=丽1+1=再2>l，因石≮孑≥以ii厂可丽”竺坐垒竺壶!>。成立，设口、6、c、d均为正数，求证：“研+(1+1)(1+下1)⋯(1+老卜海而(1+1)(1+了1)．．．(1+矗)由于虿<了，彳<了，⋯，百<丽，、’于是有：等=面害壳雨1>l(陇旷)，趴l+1)(1+了1)⋯(1+南)>海氘故M<点，原不等式成立．(1+1)(1+了1)⋯(1+南)(1+而百1汪构造对偶式Ⅳ=号·÷⋯轰备，石％r+石‘孑≥、亿再万‘可了孑F证明设膨=÷·÷⋯鼍}，·即M<N·于是彬<||lf·IV-元音，中·7毒I：·7(2008年第2期·高中版)⋯。，．·教学论坛·A=4(戈I)，l+戈2扎+菇3乃一1)2-4(x：+髫；+髫；一故(舅lyl+茹2托+省3Y3—1)2≥(茹：+吃2+茹23—1)()，2l+Z+)，23—1)．，S)，若能证明ST<舻，则有S2≤Sr<舻。即证得S<M．=(菇It—Y1)2+(x2t一儿)2+(x3t一乃)2一(f一1)2．这是一个开口向下的抛物线，由于以1)=(茗l一，，1)2+(x2一y2)2+(而一乃)21>0，因此，抛物线的图象与菇轴一定有交点，从而1)(y2l+y22+y23—1)≥0，5利用单调。构造数列在遇到与正整数Ti,有关的不等式时，