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例谈运用构造法证明不等式

在我们的学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效。这时我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。下面通过举例加以说明。
一、构造向量证明不等式
例1：证明，并指出等号成立的条件。
简析与证明：不等式左边可看成与x和与两两乘积的和，从而联想到数量积的坐标表示，将左边看成向量a=(,)与b=(x,)的数量积，
又a·b≤|a|·|b|，所以当且仅当b=λa(λ>0)时等号成立，故由得：x=,λ=1，即x=时，等号成立。
例2：求证：
简析与证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成a=(1－y,x+y－3,2x+y－6)模的平方，又|a|·|b|≥a·b,为使a·b为常数，根据待定系数法又可构造b=(1,2，-1)
于是|a|·|b|=
a·b＝
所以
即
二、构造复数证明不等式
例3、求证：
简析与证明：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数Z1=
x+yi,Z2=x+（1－y）i，Z3=1－x+yi，Z4=1－x+（1－y）i模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2i，于是由＋＋＋≥可得
此题也可构造向量来证明。
三、构造几何图形证明不等式
例4：已知：a>0、b>0、c>0,求证：当且仅当时取等号。
简析与证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造如下图形：
作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60°如图（1）
则∠AOC＝120°，AB=，BC=,AC=
由几何知识可知：AB＋BC≥AC
∴+≥
图（1）
当且仅当A、B、C三点共线时等号成立，此时有
，即ab+bc=ac
故当且仅当时取等号。
四、构造椭圆证明不等式
例5：求证：
简析与证明：的结构特点，使我们联想到椭圆方程及数形结合思想。
图（2）
于是令，则其图象是椭圆的上半部分，设y-2x=m，于是只需证,因m为直线y=2x＋m在y轴上的截距，由图（2）可知：当直线y=2x＋m过点（，0）时，m有最小值为m=；当直线y=2x＋m与椭圆上半部分相切时，m有最大值。
由得：13x2+4mx+m2–4=0
令△=4（52－9m2）=0得：或（舍）
即m的最大值为，故，即
五、构造方程证明不等式
例6：设a1、a2、…an为任意正数，证明对任意正整数n
不等式(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2)均成立
简析与证明：原不等式即为4(a1+a2+…+an)2－4n(a12+a22+…+an2)≤0
由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：
(a12+a22+…+an2)x2+2(a1+a2+…+an)x+n=0（＊）
因方程左边＝(a1x+1)2+(a2x+1)2+…＋(anx+1)2≥0
当a1、a2、…an不全相等时，a1x+1、a2x+1、…anx+1至少有一个不为0，方程（＊）左边恒为正数，方程（＊）显然无解。
当a1＝a2＝…＝an时，方程（＊）有唯一解x＝
故△＝4(a1+a2+…+an)2－4n(a12+a22+…+an2)≤0
即(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2)对任意正整数n均成立
六、构造数列证明不等式
例7：求证：Cn1+Cn2+…+Cnn>
简析与证明：不等式左边即为2n－1=从而联想到等比数列的求和公式，于是左边=1+2+22+…+2n－1=[(1+2n-1)+(2+2n-2)+…(2n-1+1)≥·n·=
例8：设任意实数a、b均满足|a|<1，|b|<1
求证：
简析与证明：不等式中各分式的结构特点与题设联想到无穷等比数列（|q|<1）各项和公式S＝，则：=（1+a2+a4+…）+（1+b2+b4+…）
=2+（a2+b2）+(a4+b4)+…≥2+2ab+2a2b2+2a4b4+…=
七、构造函数证明不等式
例9：已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：ab＋bc＋ca＞－1
简析与证明：原不等式即为：（b＋c）a＋bc＋1>0……①
将a看作自变量，于是问题转化为只须证：当－1＜a＜1时，（b＋c）a＋bc＋1恒为正数。因而可构造函数f(a)=(b+c)a+bc+1(－1＜a＜1)
若b+c=0原不等式显然成立。
若b+c≠0，则f(a)是a的一次函数，f(a)在（－1,1）上为单调函数
而f(-1)=－b－c+bc+1＝（1－b）（1－c）＞0
f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0
∴f(a)＞0即ab＋bc＋ca＞－1
此题还可由题设构造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0