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例谈构造函数法在证明不等式中的应用

摘要：数学中有关不等式证明的问题很多，解决方法也是多种多样，从教学中遇到的不等式证明问题出发，归纳小结函数在证明不等式中的应用。
关键词：不等式函数构造

不等式的证明历来是高中数学的难点，也是考察学生数学能力的主要方面，而运用函数思想证明不等式，一直都是高中数学的一个重要方法。函数是高中数学的基础，是联系各个数学分支的桥梁和纽带.在不等式的证明中，我们可根据不等式的结构特点，构造函数，利用函数的单调性、最值等性质，灵活、巧妙地证明不等式.
我们把函数思想应用于不等式的证明中，根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数，然后利用函数的性质来证明不等式。本文通过一些具体的例子来探讨一下怎样借助函数来证明不等式。
类型一：直接构造函数比较大小
通过观察式子的结构特点，寻找变量和不变量，探索变量与变量之间的关系，归纳变量的特征，构造函数，利用函数性质求解相应问题。此类问题多在选择、填空题中出现。
例1：若则（）
A.a﹤b﹤cB.c﹤b﹤aC.c﹤a﹤bD.b﹤a﹤c
思路分析：a,b,c的值可看作函数的特值，可通过研究的单调性比较a,b,c的大小。
解：构造函数
则
当时，
所以，函数在上是增函数，
则即，
故，选A
点评：本题可通过观察发现三个式子的变量和不变量，从而构造函数。
类型二：做差构造函数证明不等式
在具体问题中，如果要证明对任意的都有，可设只要利用导数说明在上的最小值为0即可。
例2.当时，求证：不等式成立。
思路分析：通过作差构造函数研究在上的单调性。
证明：设
则
当时，，因此在内是增函数，于是当时，
∴当时，不等式成立。
点评：此种类型易于发现所需函数，题目较为常见。
类型三：间接构造函数证明不等式
在有些不等式在证明过程中，很难直接找到所需函数，这时可以利用逆向思维策略，变换视角，从待证结论出发，顺次寻找结论成立的充分（充要）条件，直至题设或出现显然的数学事实。
例3.且，证明：
思路分析：此题难点在于所证结论的形式中有指数形式，并且左右两侧各自的变量都含和，不能直接构造函数，为此可以对所证结论形式做适当的变型，先去掉指数，再将和分离到不等号两端，则可构造函数，根据有，再利用函数单调性证明。
证明：设且
∴
∵∴且
∴即在上为减函数
∵∴
∴则
评注：本题关键是找函数，难点在于待证结论形式和变量。在平时应注意逆向分析的训练。
类型四：利用题设条件构造函数证明不等式
有部分不等式证明问题，其待证结论形式较繁琐不易变形时，可以将待证结论与题设条件（最好是已有函数）做一对比，找出相同点与不同点，在对待证结论进行分解构造函数。
例4.已知函数
（1）若函数在其定义域上为增函数，求a的取值范围
（2）设求证：

思路分析：（1）略（2）将待证结论与已知函数从结构上做个对比，共同点：二次式、一次式和对数式都有，则可将待证结论中的看做函数自变量；不同点：待证结论由项组成且有个式子，可知待证结论由累加得来且所需函数中有常数。从以上可知，只需证即可，则构造函数，又从知，定义域为。
解（1）略
（2）证明
∴则当时
∴在上为增函数
∴当时即时
又∵
∴

……

即
评注：本题通过对结论分析，可发现必须先针对每一项得有关不等才能通加得结论，再结合已知函数可构造所需函数，使结论得到证明。
在不等式证明中，利用可导法的应用不可忽视，通过观察，作差、变形结论，借助题目中的已知条件等方法，恰当的构造函数，利用导数方法往往比传统方法显得更简便，更易行，更有效。
参考文献：
《构造可导函数解不等式》.杨海涛—高中数学教与学第255期
《打破高中数学解题思维障碍的策略》.林文良—中学数学教学参考第468期
《导数考查新动向》.李锦旭—中学数学教与学2008年第8期（上）