例谈构造数列证明不等式.pdf

茗.杂沁洲乡另淞恩2澎钦另瀚形班又粼召之.粼笋中学数学杂志2008年第1期

例谈构造数列证明不等式

四川省乐至县石湍中学641506吴家俊

构造法证明不等式，是一个热门课题.常可构2证明形如a,·a2··⋯a。n'I<f(n)(n二N-)的
造方程，函数，数列，几何图形或向量及曲线等，并利不等式.
用这些方面的性质证明不等式，它可以培养学生思3n为正例整数，求证:2!4!6!...(2n)!办[(n
维的独创性和灵活性，对培养创造性人才具有重要+1川“
意义.现就构造数列证明不等式略举几例.明设数列证{。二}前。项积为TIT.二a,"a,
1证明形如a,+a2+a3+⋯+an-f(n)(或)··⋯a.=[(n+1)1]"(n二N',n}->2)，则及-1=
f(n))的不等式a,·a2··⋯an-，二(n!)"-1，两式相除得a。二((n+
例1neN`，求证:1)n·n!，现证:(2n)!)(n+1)rt·n!
(n+1)’=(2n)因!=2n·(2n一1)..(n+1)·n!)
丫顶不万+柞刃3+⋯+Vn,(n+1)<2
(n+1)“·n!=an
证明设数列{an}，前n项和为S.ISn=a,+
一(n+1)’知2!〕故a4!)a2,...(2n)!)an.
a2+a3+‘’.+an2，则Sn_,=a,+a2+‘”式相乘得各2!4!6!.二(2n)!)[(n+1)!〕“
2n+1结数列小{。。}与{久队如果a.:,>bn>0则
叫，.目一
+an-,=一八，由均值不等式
号，(n，2)故“·a,’a2··⋯a)b,·久··⋯奸
得n+214求证例:对一切正整数恒有
n(n+1)<一
ZRP:涯下2<a,，2.3<
1

a
，
.2n一1
﹄，⋯丫蔽石下丁了<。。，各式相加即证1/1不万+,2,(l++(1+含)(1+今)⋯(‘+
(n+1)2'2n+1
,/2·3+⋯+n+1)<
2
证明设数列{anI，其前n项积为Tn，Tn=a,
小结如果数列{an}与{bn}有an,<bn，则a,
.an=在n+1(n)2,nEN")，则Tn_，二
+a2+a3+⋯+a,‘b,+b2+b3+⋯+bn.
我们经常用放缩法证明这类不等式，以上构造a,.·an,=、一1，故an=会=
法，也提供了寻找放缩目的方法.
1
例2n二N*，求证:二万+了丁一一一.,.2+现证明:(‘+
乙ti+乙)(1+3)2

1n>0
+⋯因为(1+二毕一)2
(1+n)22n+4\2n一1/

n
证明设数列}an}，前n项和为Sn一2n+4，所以，(1+1+云2n.1-1)>户2n+-1>”

nn一11
则an
2n+42n+2(n+1)(n+2)即(‘+‘)>j小·31)·}5_3'⋯
1
因为>丁一一，二不万厂一，一万万二a..
n+1八气n+乙){1十于)>各式相乘，得
1\2n一1l
一日
认矛1
上2(，号)(卜合)(‘+)...卜2n一1)>
各式相加得矛+
(n+1)(n+2)2n+1.
113证明其它条件不等式
+丁下下下又万+“‘+
(1+2)z1k+j)(1+n)2>+2n耳4(下转29页)
26

万方数据
中学数学杂志2008年第1期名iii:力多节甜抵2未铭苏沼尾之粼召易粼穷

首先k=A0,0>0=>一1<k<0或0<k<1(6)将这些解区间并起来，即为原不等式的解
4
r
we
l一
d且x,+x2m=一2+矿
火日产
﹂、
设E(:，,Yl)，F(x2,YZ)己
.
卫例7解关于:的不等式}二一。I>a(0。
‘x,x,=1

:-->YIY2=k2(X,+1)(x2+1)二k2[x,x2+(x,+x2)<4)
+1]=4解a二简0时，易知解集为{x1x二R,x00};
当ED上FD时，丽·而=0=>X,X2+YIY2一(二:当0<a<4时，设f(x)二Ix一a1,g(x)=卫
x
+二，)+1=O==>k2=李劝、=士扭
艺艺则其公共定义域为A=(一00,0)u(0，00)
a
-一
方程f解(x)二g(x)}}x一a一一x

、a、
则所求的‘的取值范围“(一2'0)U10'2la、，
X一一a一lX~a一-l
-es或-we
策略5变“不等”到“相等”，使问题统一化骨xesxwe
eses
eses
>0l>OJ
设函数.f(x)与g(x)的公共定义域为A，不等式劣/义/
f(x)>g(x)的解集为B，不等式f(x)<g(x)的解
+4a
集为C，方程f(x)二g(x)的解集为D，则必有:令户x二—
OA=BUCUD
a+丫az+4a
②Bnc=O,BnD=必，cnD=口
””A=(一0，U(02
据此，我们可以看出，要得到f(x)与g(x)“不
，.la+了a2+4a、
等”时的x值，只需求出它们“相