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最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案7-5

同济大学第六版高等数学上下册课后习题
答案7-5
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习题7-5
1.求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.
解所求平面的法线向量为n=(3,-7,5),所求平面的方程为3(x-3)-7(y
-0)+5(z+1)=0,即3x-7y+5z-4=0.
2.求过点M0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0
垂直的平面方程.
解所求平面的法线向量为n=(2,9,-6),所求平面的方程为2(x-
2)+9(y-9)-6(z-6)=0,即2x+9y-6z-121=0.
3.求过(1,1,-1)、(-2,-2,、2)(1,-1,三点的平面方程2).解n1=(1,
-1,2)-(1,1,-1)=(0,-2,3),
n1=(1,-1,2)-(-2,-2,2)=(3,1,0),
所求平面的法线向量为kjikjinnn6930
1332021++-=-=?=,所求平面的方程为
-3(x-1)+9(y-1)+6(z+1)=0,即x-3y-2z=0.
4.指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面:
(1)x=0;
解x=0是yOz平面.
(2)3y-1=0;
解3y-1=0是垂直于y轴的平面,它通过y轴上的点)0,3
1,0(.(3)2x-3y-6=0;
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解2x-3y-6=0是平行于z轴的平面,它在x轴、y轴上的截距分
别是3和-2.(4)03=-yx;
解03=-yx是通过z轴的平面,它在xOy面上的投影的斜率为3
3.(5)y+z=1;
解y+z=1是平行于x轴的平面,它在y轴、z轴上的截距均为1.
(6)x-2z=0;
解x-2z=0是通过y轴的平面.
(7)6x+5-z=0.
解6x+5-z=0是通过原点的平面.
5.求平面2x-2y+z+5=0与各坐标面的夹角的余弦.
解此平面的法线向量为n=(2,-2,1).
此平面与yOz面的夹角的余弦为3
21)2(22||||),cos(cos122^=+-+=??==inininα;此平面与zOx
面的夹角的余弦为3
21)2(22||||),cos(cos122^-=+-+-=??==jnjnjnβ;此平面与
xOy面的夹角的余弦为3
11)2(21||||),cos(cos122^=+-+=??==knknknγ.
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6.一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0),
试求这平面方程.
解所求平面的法线向量可取为kjikjiban30
11112-+=-=?=,所求平面的方程为
(x-1)+(y-0)-3(z+1)=0,即x+y-3z-4=0.
7.求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交点.
解解线性方程组
=++-=--=++3
220213zyxzyxzyx
得x=1,y=-1,z=3.三个平面的交点的坐标为(1,-1,3).
8.分别按下列条件求平面方程:
(1)平行于zOx面且经过点(2,-5,3);
解所求平面的法线向量为j=(0,1,0),于是所求的平面为0?(x-
2)-5(y+5)+0?(z-3)=0,即y=-5.
(2)通过z轴和点(-3,1,-2);
解所求平面可设为Ax+By=0.
因为点(-3,1,-2)在此平面上,所以
-3A+B=0,
将B=3A代入所设方程得
Ax+3Ay=0,
所以所求的平面的方程为
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(3)平行于x轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7).
解所求平面的法线向量可设为n=(0,b,c因为点).(4,0,-2)和(5,
1,7)都在所求平面上,所以向量n1=(5,1,7)-(4,0,-2)=(1,与1,n9)
是垂直的,即
b+9
c=0,b=-9c,
于是n=(0,-9c,c)=-c(0,9,-1).
所求平面的方程为
9(y-0)-(z+2)=0,即9y-z-2=0.
9.求点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离.
解点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离为12
21|1012221|222=++-?+?+=
d.