高等数学第六版下册课后习题答案-同济大学【完整版】.doc

高等数学第六版下册课后习题答案同济大学【完整版】
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第八章多元函数微分法及其应用
第一节多元函数的根本概念
本节主要概念，定理，公式和重要结论
理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；
理解二重极限概念，注意是点以任何方式趋于;
注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题8－1
1.求以下函数表达式:
(1)，求
解：
(2)，求
解：
2.求以下函数的定义域，并绘出定义域的图形:
(1)
解：
(2)
解：
(3)
解：
3.求以下极限:
(1)
解：
(2)
解一：
解二：
(3) (4)
解一：
解二：
(4)
解一：
解二：
4.证明以下函数当时极限不存在:
(1)
解：
(2)
解：

5.以下函数在何处是间断的?
(1)
解：
(2)
解：
第二节偏导数
本节主要概念，定理，公式和重要结论
1.偏导数：设在的某一邻域有定义，那么
，
.
的几何意义为曲线在点处的切线对轴
的斜率.
在任意点处的偏导数、称为偏导函数，简称偏导数.求时，只需把视为常数，对求导即可.
2.高阶偏导数
的偏导数的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推.二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：
，其中后两个称为混合偏导数.
假设两个混合偏导数皆为连续函数，那么它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.
习题8－2
1.求以下函数的一阶偏导数:
(1)
解：
(2)
解：
(3)
解：

(4)
解：
(5)
解：
(6)
解：
(7) (8)
解：
(8)
解：
2.求以下函数在指定点处的一阶偏导数:
〔1〕，求
解：
〔2〕，求
解：
3.求以下函数的高阶偏导数:
(1)，求，，
解：

(2)，求，，，
解：

(3)，求，
解：
4.设，求和.
解：

5.设，求证
解:

6.设，证明
证明:
由轮换对称性,

第三节全微分
本节主要概念，定理，公式和重要结论
1.全微分的定义
假设函数在点处的全增量表示成

那么称在点可微，并称为在点的全微分，记作.
2.可微的必要条件：假设在可微，那么
〔1〕在处连续；
〔2〕在处可偏导，且，从而
.
一般地，对于区域内可微函数，.
3.可微的充分条件：假设在的某邻域内可偏导，且偏导数在处连续，那么在可微。
注：以上定义和充分条件、必要条件均可推广至多元函数。
习题8－3
1.求以下函数的全微分
(1) (2)
解:
(2)
解:

(3)
解:
(4)
解:

(5)
解:

所以
(6)
解:

2.求函数，当时的全微分.
解:

3.求函数，当时的全增量与全微分.
解:

4.研究函数在点处的可微性.
解:由于，所以在点连续，又

又
所以

所以在点处可微
5.计算的近似值.
解：令，那么，
再设
那么

6.边长的矩形，如果边增加5cm，而边减少10cm，求这个矩形的对角线的长度变化的近似值.
解：对角线长为，那么，
所以
第四节多元复合函数的求导法那么
本节主要概念，定理，公式和重要结论
复合函数的求导法那么〔链式法那么〕如下：
1.设在可偏导，在相应点有连续偏导数，那么在的偏导数为

2.推广：
(1)多个中间变量：设，那么
且

(2)只有一个中间变量：设那么且

(3)只有一个自变量：设，那么且

习题8－4
1.求以下复合函数的一阶导数
(1)
解：
(2)
解：
(3)
解：
(4)
解：

2.求以下复合函数的一阶偏导数
(1)
解：

(2)
解：

3.求以下复合函数的一阶偏导数〔是类函数〕
(1)
解：，
(2)
解：，
(3)
解：，
(4)
解：，，
4.设且具有二阶连续偏导数，求
解：

5.，其中有二阶连续导数，求
解：

6.设，其中有连续二阶偏导数，求
解：

第五节隐函数的求导公式
本节主要概念，定理，公式和重要结论
1.一个方程的情形
〔1〕假设方程确定隐函数，那么.
〔2〕假设方程确定隐函数，那么；.
2.方程组的情形
〔1〕假设确定，，那么
，.
〔2〕假设确定，那么
，；，.
习题8—5
1．求以下方程所确定的隐函数的一阶导数
(1)
解：
(2)
解：

(3)
解：

(4)
解：

2．求以下方程所确定的隐函数的一阶偏导数
(1)
解：

(2)
解：

(3)
解：
，
(4)
解：

3．求以下方程所确定的隐函数的