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高等数学第六版上册课后习题答案及解析

第一章
习题11
1设A(5)(5)B[103)写出ABABA\B及A\(A\B)的表达式
解AB(3)(5)
AB[105)
A\B(10)(5)
A\(A\B)[105)
2设A、B是任意两个集合证明对偶律(AB)CACBC
证明因为
x(AB)CxABxA或xBxAC或xBCxACBC
所以(AB)CACBC
3设映射fXYAXBX证明
(1)f(AB)f(A)f(B)
(2)f(AB)f(A)f(B)
证明因为
yf(AB)xAB使f(x)y
(因为xA或xB)yf(A)或yf(B)
yf(A)f(B)
所以f(AB)f(A)f(B)
(2)因为
yf(AB)xAB使f(x)y(因为xA且xB)yf(A)且yf(B)yf(A)f(B)
所以f(AB)f(A)f(B)
4设映射fXY若存在一个映射gYX使其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个xX有IXxx对于每一个yY有IYyy证明f是双射且g是f的逆映射gf1
证明因为对于任意的yY有xg(y)X且f(x)f[g(y)]Iyyy即Y中任意元素都是X中某元素的像所以f为X到Y的满射
又因为对于任意的x1x2必有f(x1)f(x2)否则若f(x1)f(x2)g[f(x1)]g[f(x2)]x1x2
因此f既是单射又是满射即f是双射
对于映射gYX因为对每个yY有g(y)xX且满足f(x)f[g(y)]Iyyy按逆映射的定义g是f的逆映射
5设映射fXYAX证明
(1)f1(f(A))A
(2)当f是单射时有f1(f(A))A
证明(1)因为xAf(x)yf(A)f1(y)xf1(f(A))
所以f1(f(A))A
(2)由(1)知f1(f(A))A
另一方面对于任意的xf1(f(A))存在yf(A)使f1(y)xf(x)y因为yf(A)且f是单射所以xA这就证明了f1(f(A))A因此f1(f(A))A
6求下列函数的自然定义域
(1)
解由3x20得函数的定义域为
(2)
解由1x20得x1函数的定义域为(1)(11)(1)
(3)
解由x0且1x20得函数的定义域D[10)(01]
(4)
解由4x20得|x|2函数的定义域为(22)
(5)
解由x0得函数的定义D[0)
(6)ytan(x1)
解由(k012)得函数的定义域为(k012)
(7)yarcsin(x3)
解由|x3|1得函数的定义域D[24]
(8)
解由3x0且x0得函数的定义域D(0)(03)
(9)yln(x1)
解由x10得函数的定义域D(1)
(10)
解由x0得函数的定义域D(0)(0)
7下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？
(1)f(x)lgx2g(x)2lgx
(2)f(x)xg(x)
(3)
(4)f(x)1g(x)sec2xtan2x
解(1)不同因为定义域不同
(2)不同因为对应法则不同x0时g(x)x
(3)相同因为定义域、对应法则均相相同
(4)不同因为定义域不同
8设求(2)并作出函数y(x)的图形
解
9试证下列函数在指定区间内的单调性
(1)(1)
(2)yxlnx(0)
证明(1)对于任意的x1x2(1)有1x101x20因为当x1x2时

所以函数在区间(1)内是单调增加的
(2)对于任意的x1x2(0)当x1x2时有

所以函数yxlnx在区间(0)内是单调增加的
10设f(x)为定义在(ll)内的奇函数若f(x)在(0l)内单调增加证明f(x)在(l0)内也单调增加
证明对于x1x2(l0)且x1x2有x1x2(0l)且x1x2
因为f(x)在(0l)