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函数凹凸性的性质判定及应用（完整版）
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函数凹凸性的判定性质及应用
曹阳数学计算机科学学院

摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。
关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用；

ConvexfunctionofJudgePropertiesandApplications

Abstract:Thefunctionofconvexityinmathematicalresearchisofgreatsignificance.Inthispaper,thedefinitionofconvexfunctionofavarietyofstart,leadstounevennatureofthefunction,describesthepropertiesofconvexfunctionsanddecisiontheorem.Onthisbasis,theconcaveandconvexfunctionsofonevariabletopromote,promotetothebinaryfunction,discussestheunevennatureofthenatureofthebinaryfunction,determinethemethodanditsapplication.Onetoabinary,anincreaseofavariable,thenforn-whetheritisasimilarfunctionexist?Thislayersofdepth,thebinaryfunctiontore-promote,tothecaseofn-givendefinitionofn-convexfunction,determinethemethodsandproperties.Thisarticlefocusesononeelement,binary,multipleconvexfunctiondefinition,nature,andjudgingmethods,anddescribestheirapplication.Keywords:Convexity;OneFunction;Binaryfunction;Multiplefunctions;Criterion;Applications;

1.引言

凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。凸函数在大学数学中很少具有直接的运用，而导数在函数图像的凹凸性研究是大学数学中一个重要的知识点，这说明凸性在大学数学，特别是数学分析中的应用没有得到应有的正视，长期以来，凸函数被热为只在一些具体学科，如机器人学，模具设计或一些数学分支（如全局优化，运筹学等）中具有重要的运用，而在大学数学中没有应用。本文将重点探讨凸函数在分析学中的一些简单应用。在本文中，我们首先给出凸函数的多种定义，性质，然后探讨二元与多元的情况下凸函数的定义，判定及性质。
2.一元函数凹凸性的判定
2.1凸函数的多种定义及等价证明
下面先先给出凸函数的13种常见定义。
假设IR，f:IR.
定义1：f在I内连续ｆ（）,则称f为凸函数。
定义1：若则称f为凸函数
定义1：
的行列式0，则称f为凸函数
定义1：
，则称f为凸函数
定义1:，则称f(x)为凸函数
1：

则称f(x)为凸函数
1：若ｆ在Ｉ内存在单增函数,I,xI,有ｆ（ｘ）－ｆ（）＝，则称f为凸函数。
1：
设f在I上连续，且有，则称f为凸函数。
1：若，．．．，Ｉ，ｆ（）（ｎＮ），则称f为凸函数。
1：若ｆ在Ｉ内可导，ｘ，ｙＩ，
有ｆ（ｘ）（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），则称f为凸函数。
1：若ｆ在Ｉ可导，且（ｘ）单调递增，则称f为凸函数。
1：ｆ在Ｉ内二次可导，（ｘ）０，则称f为凸函数。
1：ｆ在区间Ｉ上凸函数的充要条件是：函数为[0,1]上的凸函数，
下面给出几种定义间的相互证明。
定理1若ｆ在区间Ｉ上可导，则定义７定义１０
证明：因为ｆ在Ｉ内存在单增函数，Ｉ，
ｆ（ｘ）－ｆ（）＝（１）
故对于ｙＩ，不妨设ｙ＜ｘ，有：
ｆ（ｙ）－ｆ（）＝（２）
将式（１）两边