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函数凹凸性的应用

什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数所表示的曲线是向上凸的,而所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y＝f(x)的图形在区间I上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y＝f(x)的图形在区间I上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.

如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？
设函数在区间上是凸的（向下凸）,任意,（）.
曲线上任意两点,之间的图象位于弦的下方,即任意,的值小于或等于弦在点的函数值,弦的方程
.
对任意有,整理得
.
令,则有,且,易得,上式可写成

1.1凸凹函数的定义
凸性也是函数变化的重要性质。通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。
设，（1）则称为上的凸函数。若
（2）
则称为上的严格凸函数。若（1）与（2）式中的不等式符号反向，则分别称为上的凹函数与严格凹函数。
显然，为上的（严格）凸函数是（严格）凸的。因此，只要研究凸函数的性质与判别法，就不难得到凹函数的相应的判别法。
直接用定义来判别函数的凸性是比较困难的，下面的等价命题可以提供给我们判别函数凸凹性的一些依据：
若在内二次可微，则下面关于凹函数的四个命题等价：
1.。其几何意义是“现在曲线的上方”;
2.其几何意义是“切线在曲线的下方”；
3.；
4.
定义2设曲线y＝f(x)在点()处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称()为曲线y＝f(x)的拐点.
必须指出；若()是曲线y=f（x)的一个拐点,y＝f(x)在点的导数不一定存在,如在x＝0的情形.
1.2凸函数的特征
引理f为I上的凸函数对于I上任意三点总有：
(3)
严格凸函数上式严格不等式成立.
证记,则及,由的凸性知
(4)从而有

即
整理即得式.
,记,则,
由必要性的推导步骤可逆,从式便得式.故为凸函数.
同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即,,有

严格凸函数上式严格不等式成立.
定理设为开区间上的凸函数．若则在上满足利普希茨条件,且在上连续．
证明(证明开区间上的凸函数必为连续函数)当取定后,由为开区间,必可选取中的四点满足：
．
如图所示,再在中任取两点.应用引理得到

．
令
,
则
,．
显然,上述L与中的点无关,故在上的每个内闭区间上满足利普希茨条件．
由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续．
如果f是I上的可导函数,则进一步有：
1.3、凸函数与导数的关系
定理1（可导函数为凸函数的等价命题）设f为区间I上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f为I上的凸函数；（2）为I上的增函数；（3）对I上的任意两点总有
证(i)(ii),并取,使

据定理3.12,有

由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到
．
所以是上的递增函数．
(ii)(iii)由微分中值定理和递增,便可证得

当时,也有相同结论．
(iii)(i),并记,则有
,
由(iii)可得

.
注定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．

如果f在I上二阶可导,则进一步有：
定理2（凸函数与二阶导数的关系）设f为I上的二阶可导函数,则在I上f为凸（凹）函数（）,.为严格凸1）；2）不在上的任一子区间上恒为零.
此定理说明：为严格凸,则曲线中不含有直线段（）.对于凹函数情形,也有类似的定理（因为凸,则凹）.
可导函数有如下相互等价的论断：
1）为上凹函数.
2）,有.即割线斜率递减.
3）为上递减函数.
4）,有,.当在上二阶可导时,下述论断与1）,2）,3）,4）相等价.
5）在上.
对严格凹的情形可类似得出等价论断.
二、拐点
定义2设曲线y＝f(x)在点()处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称()为曲线y＝f(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界点）必须指出；若()是曲线y=f（x)的一个拐点,y＝f(x)在点的导数不一定存在,如在x＝0的情形.
定理3（拐点必要条件）若f在二阶可导,则()为曲线y＝f(x)的拐点的必要条件是.
综上知：()的拐点,则要么（1）；要么（2）f在点不可导.
定理4设f在点可导,在某邻域内二阶可导,若在和上的符号相反,则()为曲线y＝f(x)的拐点.
例1讨论函数的凸性与拐点.
解,因而当时,；当时,,从而函数为上