函数凹凸性的应用.doc

函数凹凸性的应用函数凹凸性的应用函数凹凸性的应用函数凹凸性的应用什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性。如函数所表示的曲线是向上凸的,而所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看，若y＝f（x)的图形在区间I上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方;若y＝f（x）的图形在区间I上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数在区间上是凸的（向下凸),任意,(）。曲线上任意两点，之间的图象位于弦的下方，即任意，的值小于或等于弦在点的函数值，弦的方程。对任意有,整理得.令，则有，且,易得，上式可写成1.1凸凹函数的定义凸性也是函数变化的重要性质。通常把函数图像向上凸或向下凸的性质,叫做函数的凸性。图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数.设，（1）则称为上的凸函数。若（2）则称为上的严格凸函数.若(1）与(2)式中的不等式符号反向，则分别称为上的凹函数与严格凹函数。显然，为上的（严格）凸函数是（严格)凸的。因此，只要研究凸函数的性质与判别法，就不难得到凹函数的相应的判别法。直接用定义来判别函数的凸性是比较困难的，下面的等价命题可以提供给我们判别函数凸凹性的一些依据:若在内二次可微，则下面关于凹函数的四个命题等价：1.。其几何意义是“现在曲线的上方";2。其几何意义是“切线在曲线的下方";3。；4.定义2设曲线y＝f(x）在点(）处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称（)为曲线y＝f（x)的拐点。必须指出；若（)是曲线y=f(x）的一个拐点，y＝f(x)在点的导数不一定存在，如在x＝0的情形.1.2凸函数的特征引理f为I上的凸函数对于I上任意三点总有：（3)严格凸函数上式严格不等式成立。证记,则及，由的凸性知（4)从而有即整理即得式。，记，则，由必要性的推导步骤可逆,从式便得式.故为凸函数.同理便知,曲线上首尾相连的线，其斜率是递增的，即,，有严格凸函数上式严格不等式成立。定理设为开区间上的凸函数．若则在上满足利普希茨条件，且在上连续．证明(证明开区间上的凸函数必为连续函数）当取定后,由为开区间,必可选取中的四点满足：．如图所示,再在中任取两点。应用引理得到．令,则，．显然，上述L与中的点无关,故在上的每个内闭区间上满足利普希茨条件．由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续．如果f是I上的可导函数，则进一步有：1.3、凸函数与导数的关系定理1（可导函数为凸函数的等价命题)设f为区间I上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f为I上的凸函数;（2）为I上的增函数;（3）对I上的任意两点总有证(i)（ii）,并取，使据定理3。12，有由可微，当时,对上述不等式取极限后，得到．所以是上的递增函数．（ii)(iii)由微分中值定理和递增,便可证得当时,也有相同结论．（iii）（i),并记,则有，由(iii)可得.注定理中（iii)的几何意义如下图所示：曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系（iii）来表述凸函数．但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．如果f在I上二阶可导,则进一步有：定理2（凸函数与二阶导数的关系）设f为I上的二阶可导函数,则在I上f为凸（凹）函数（），。为严格凸1）；2）不在上的任一子区间上恒为零。此定理说明：为严格凸,则曲线中不含有直线段(）。对于凹函数情形,也有类似的定理（因为凸,则凹）。可导函数有如下相互等价的论断：1）为上凹函数.2），有。即割线斜率递减。3）为上递减函数。4），有,.当在上二阶可导时,下述论断与1）,2)，3），4）相等价。5)在上.对严格凹的情形可类似得出等价论断。二、拐点定义2设曲线y＝f(x)在点（）处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称（）为曲线y＝f(x）的拐点。（即为曲线凹凸部分的分界点）必须指出；若（）是曲线y=f（x)的一个拐点,y＝f(x)在点的导数不一定存在，如在x＝0的情形.定理3（拐点必要条件)若f在二阶可导,则()为曲线y＝f（x)的拐点的必要条件是.综上知：（）的拐点，则要么（1）;要么（2）f在点不可导。定理4设f在点可导，在某邻域内二阶可导,若在和上的符号相反,则（）为曲线y＝f(x）的拐点。例1讨论函数的凸性与拐点.解,因而当时，；当时,,从而函数为上的凸函数,在上为凹函数。而在原点连续，故原点为曲线的拐点例2若在内可导、凸（凹）函数，则为的极小（大）值点。即为的稳定点.证）费马定理。)因凸，故有。因,故总有。即为的极