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矩阵秩的一些著名结论（完整版）实用资料
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引言
矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论，有关矩阵的秩的等式或不等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程组的解等密切相关，推证有难度也有技巧。熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧，对有关理论的学习会有很大的裨益。矩阵中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵的秩，记为r(A.一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论.
1.证明:设为两个同阶矩阵,则有r(A﹢B≤r(A﹢r(B
证设=,,…,,=
则+=+,+,…,+
不妨设列向量的极大线性无关组为,,…,.(1rn；
列向量的极大线性无关组为，，….(1sn.
则++…+;
=++…+;
则+=++…++++…+;
即+的列向量可由,,…,，，，…线性表出，
故.
2.若=,则.
证记，由=，知的每一列都是解,
即,=1,2,…,
又因的基础解系所含向量个数为,
换言之,的所有解所构成的向量组的秩为.故,
即.
3.若，证明+=n.
证,,=,
由结论2知r+r;
再由结论1知，
+,
综上所述,+=n.
4若证明：+.
证,由结论2知+.
又因知，

即+.
综上所述，+.
5.矩阵,,证明：+-.
证设=,=,=则存在可逆矩阵,使
=.及=.
故=
==.
则===.
因==
则中还有个线性无关行向量,
故
则,即+-.
6.设为的伴随矩阵，则伴随矩阵的秩为：
=
证若=时,即可逆,因，
则有,故.
若时,,=,
由结论2知+，
即=1.也就是=0,或=.
假设=0,则的所有阶子式为0,这与=矛盾.
故=.
若当<时，则的所有阶子式全为0，
则,即=0.
故上述结论=成立。
7.（秩的降阶定理）设,
⑴若是阶可逆矩阵，则.
⑵若是阶可逆矩阵，则
⑶若都可逆，则.
证⑴若是阶可逆矩阵，则存在.
对矩阵两边做初等变换,即有
.
初等变换不改变矩阵的秩,
故.
⑵若可逆,则存在,对两边做初等变换,
.
初等变换不改变矩阵的秩,
故.
⑶若都可逆,则根据⑴,⑵的结论有:
，
整理可得，.
参考文献
【1】张禾瑞,郝鈵新.高等代数.第五版.北京:高等教育出版社,2007.
【2】王萼芳,石生明.高等代数.第三版.北京:高等教育出版社,2003.
【3】徐仲,陆全等.高等代数(北大.第三版导教导学导考.西安:西安工业大学出版社,2006.
求逆矩阵的方法与矩阵的秩

一、矩阵的初等行变换
（由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式值和它的伴随矩阵.当A的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）
定义2.13矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：
(1)将矩阵中某两行对换位置；
(2)将某一行遍乘一个非零常数k；
(3)将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行.
并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换.
矩阵A经过初等行变换后变为B，用
AB
i
j
表示，并称矩阵B与A是等价的.
i
j
i
（下面我们把）第行和第j行的对换变换，简记为“，”；把第行遍乘k倍的倍乘变换，简记为“k”；第j行的k倍加至第行上的倍加变换，简记为“+k”.
①，②
例如，矩阵A=
③k

②+①k

（关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）

二、运用初等行变换求逆矩阵
由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个n2n矩阵(A,I)，用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I，与此同时，右半部分的I就被化成了.即
(A,I)(I,)

例1设矩阵A=
求逆矩阵.
解因为
②+①(-1)
=3\*GB3③+①(-2)
[A,I]=
①+=3\*GB3③(-1)
②+=3\*GB3③(-1)

=1\*GB3①+=2\*GB3②
②(1/2)
=3\*GB3③+=2\*GB3②

所以=

所求逆矩阵是否正确，可以通过计算乘积矩阵A进行验证.如果A=I成立，则正确，否则不正确.
对给定的n阶矩阵A，用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵[A,I]进行初等行变换的过程中，如果[A,I]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即，可以判定A不可逆；如果[A,I]中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而