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浅谈矩阵的秩及其应用定稿(完整版)实用资料.doc

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浅谈矩阵的秩及其应用定稿（完整版）实用资料 (可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载） 宝鸡文理学院 本科学年论文 论文题目：矩阵秩及其应用学生姓名： 李前 学生学号：202190014 专业名称：数学与应用数学指导老师： 杨建宏 数学系 2021年11月28日 目录 【摘要】...............................................................................................................1【关键字】............................................................................................................1一、矩阵的秩的有关概念....................................................................................1二、矩阵中的相关定理及命题............................................................................2三、矩阵的秩的两种计算方法及其优劣比较....................................................4四、矩阵运算中矩阵的秩的关系........................................................................6五、矩阵秩的应用..............................................................................................10【参考文献】......................................................................................................15 浅谈矩阵的秩及其应用 李前 （宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721013） 【摘要】本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。 【关键字】矩阵秩；线性方程组；非零子式的最高级数；初等变换 1、矩阵秩的相关概念，定理及命题 为了介绍矩阵的秩，首先介绍k级子式的概念 定义[1]在mn⨯阶矩阵A中任意选定矩阵的k行和k列,将位于这些所选定的行和列 的交点上的2 k个元素按原来的次序组成的一个新的行列式,称为矩阵的的一个k级子式。 定义[2]设mn AF⨯∈所含的非零子式的最高阶数为r,则称r为矩阵A的秩,记为rankA.当0A=时,A不含任何非零子式,定义矩阵A的秩为0，记为 0rankA=. 矩阵的秩可分为行秩和列秩。所谓矩阵的行秩是将矩阵的每一行看成一个向量,那么该矩阵就可以认为是由这些行向量组成的,这些行向量组的秩就是矩阵的行秩；同样,将每一列看成一个向量,那么列向量组的秩就是矩阵的列秩。 简单地说,矩阵的行秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的行向量的个数；矩阵的列秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的列向量的个数。 显然，mn⨯阶矩阵A的非零子式的最高阶数比,mn中的任何一个都小，可记为 {} min,rankAmn≤.若mn≤,当rankAm=时称A为行满秩,同样，若nm≤，当ra nkAn= 时称A为列满秩；如果mn=,并且当rankA达到最大值n时，称A为满秩方阵。 例对于矩阵 1123101113A⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 矩阵1A的行向量为(((123123,101,113ααα===,计算可得，向量组 123,,ααα的秩为3,那么可知，矩阵1A的行秩为3. 矩阵1A的列向量为 1231231,0,1113βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,计算可得，向量组123,,βββ的秩为3,那么可知，矩阵1A的列秩为3. 001A⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎝⎭ 矩阵2A的行向量 (((( 12341111,0111,1001,0001αααα====, 1234,,,,3αααα经计算向量组的秩为,则矩阵2,3A的行秩为 矩阵2A列向量为 ====⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,经计算向量组1234,,,ββββ,的秩为3,则矩阵2A的列秩为3. 2、矩阵中的相关定理及命题 命题错误！未定义书签。一个矩阵的秩为r等价于该矩阵存在一个非零的r级子式,而 所有的1r+级子式(若矩阵存在1r+级子式