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华北水利水电大学

矩阵秩的相关结论证明及举例

课程名称：线性代数
专业班级：能源与动力工程（热动）101班
成员组成：王威威

联系方式：

2014年12月30日

一：摘要
矩阵的秩是数学中一个极其重要并广泛应用的概念，是线性代数的一个重要研究对象，因此，矩阵的秩的结论作为线性代数的一个重要结论已经渗透到各章节之中，他把线性代数的内容紧紧联系在一起，矩阵的秩作为矩阵的一个重要本质属性则贯穿矩阵理论的始终，所以对矩阵秩的研究不仅能帮助我们更好地学习矩阵，而且也是我们学习好线性代数各章节的有力保证。
关键词：矩阵秩结论证明
英文题目
Abstract:Matrixrankisanextremelyimportantandwidelyusedinthemathematicalconcept,isanimportantresearchobjectoflinearalgebra,asaresult,theconclusionoftherankofmatrixasanimportantconclusionoflinearalgebrahaspenetratedintochapter,associatethecontentofthepositivelinearalgebraandmatrixofrankasanimportantessentialattributeofthematrix,however,throughoutthecourseofthetheoryofmatrixsothatthestudyofmatrixrankcannotonlyhelpusbetterlearningmatrixandchapterwelearngoodlinearalgebra
Keywords:matrixrankconclusionproof
二：正文
1：定义
定义1.11在矩阵A=中任意取k行k列（1≤k≤min(m,n)），位于这k行k列交点上的k*2个元素，按照他们在矩阵A中的相应位置所组成k阶行列式称为矩阵A的一个k阶子式。
定义1.12若m×n矩阵A中至少存在一个r阶子式不为0，而所有r+1阶子式（如果有的话）全为0，则称r为矩阵A的秩，记为Rank(A)，或简记为R(A)。此外，我们规定，零矩阵的秩为0

2：矩阵秩的相关结论证明及举例
2.1矩阵几个重要结论的证明：
结论1对于任意矩阵A，有=。其中是矩阵A的转置矩阵.
证因为=，则A与的不等于零的子式的最高阶数相等，即=.

结论2对于任意矩阵A，有=，其中k是非零常数.
证因为KA与A的不等于零的子式的最高阶数相等，则=.

结论3对于任意矩阵A，≤，其中是矩阵A的伴随矩阵.
证当=n，即A可逆时，由于=，故也是可逆的，即=n，当
=n-1时，有=0，于是=.I=0，从而1，又因为=n-1，所以至少有一个代数余子式，从而又由，于是，当时，，即此时.则即.

结论4
证因为，所以存在可逆矩阵P,Q
使得PAQ=于是
其中所以
显然最右边一个矩阵的秩不超过它的非零行数r，也不超过所以

结论5设A,B,C分别为矩阵，则
证因为所以

结论6设A，B均为n*m阶矩阵，则r(A+B)≦r(A)+r(B).
证明：设A=(a1,a2,…，an),B=(b1,b2,…bn)则
A+B=(a1+b1,a2+b2,…，an+bn)
于是r(a1+b1,a2+b2,…，an+bn)≦r(a1,a2,…，an)≦r(b1,b2,…bn)
故r（A+B)≦r(A)+r(B).

结论7设A，B均为n阶方阵，则
证明

例设A是n阶可逆矩阵，且试用A，B，C表示X。
解
则故

结论8r(A+B)≦r(A)+r(B)
证明：设A1，A2，A3…Ar为A的列向量的极大线性无关组,B1，B2,B3…Bs为B的列向量的极大线性无关组,则(A,B)的列向量均可由{A1,A2,A3…Ar,B1,B2,B3…Bs}线性表示.
r(A，B)≦r{A1,A2,A3…Ar,B1,B2,B3…Bs},而A1,A2,A3…Ar,B1,B2,B3…Bs中线性无关的向量一定不超过r+s个，所以r(A，B)≦r(A)+r(B)

结论9设A，B都是n阶非零矩阵，且AB=0，则A和B的秩都小于n
因为AB=0，所以r(A)+r(B)≦n，因为A≠0，B≠0，所以r(A)≥1，r(B)≥1，所以1≦r(A)≦n,1≦r(B)≦n
结论10对于任意方阵A，必存在正整数m，使得r(A*(m+1))=r(A*m)
证明：由结论4知r(A)≥r(A*2)≥r(A*3)≥…r(A*k)≥…而(rA)是有限数，上面不等式不可能无限不等下去，则一定存在正整数m，使得r(A*(m+1))=r(A*m)
结论11:设D=