可逆矩阵习题.doc

可逆矩阵习题（完整版）实用资料
(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）
第4章可逆矩阵习题
习题4.1
考虑空间解析几何中平面，，的焦点问题，写出该问题确定的线性方程组以及所对应的系数矩阵，常数项和增广矩阵。
考虑高三学年语文、数学、英语三门课程4次模拟高考成绩，用矩阵方法建立个人成绩档案。
对本节股市中数据表格问题中的矩阵，给出一组调研数据并用矩阵表示出来。
用三种不同面值的硬币分别作4、6、10次投掷实验，用数字1表示正面，表示反面，用矩阵形式把实验记录下来。
习题4.2
对下列矩阵计算：
（1）；
（2）。
计算矩阵乘积或方幂：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；
（6）；（7）；
（8）；（9）；
（10）。
计算矩阵多项式：
（1）；
（2）。
证明：矩阵的乘法和加法还适合分配律，即本节（9）、（10）两式成立。
矩阵乘法的消去律不成立，即当时，即使也不一定有。试针对矩阵举出例子。
在下列各题中，求与矩阵可交换的所有矩阵：
（1）；（2）；（3）；
（4），其中。
对任意正整数，给出的条件，并加以证明。
证明：如果一个级矩阵与所有级矩阵作乘法都是可以交换的。那么这个矩阵一定是数量矩阵。
证明：任何级矩阵总可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
设是对称矩阵，证明：也对称的充分必要条件是可交换。即

设是实对称矩阵，证明：。
证明：两个上（下）三角的乘积仍然是上（下）三角矩阵。这个性质对于对称（反对称）矩阵成立吗？试对矩阵情形讨论。

习题4.3
计算下列各题中矩阵乘积的行列式：
（1）；
（2）；
（3）。
判定上题中矩阵的退化性。如何仿照推论2来建立上题中（3）情形的判定？
习题4.4
求下列矩阵的逆矩阵：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）。
求下列矩阵方程中：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）。
证明：对于级方阵，如果那么就都是可逆的并且它们互为逆矩阵。
证明：如果，那么可逆，并且

证明：如果，那么、都可逆。
设为可逆矩阵，证明：对称（反对称）对称（反对称）。对反对称情形，必然为偶数，为什么？
设为可逆矩阵，证明：的伴随矩阵具有性质
（1）；（2）
设为可逆矩阵，证明：上（下）三角矩阵上（下）三角矩阵。
习题4.5
用分块方法计算下列矩阵的乘积：
（1）；
（2）；
（3）。
用分块方法计算下列矩阵的逆矩阵：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）。
仿照例2推导（9）。
设分别为级可逆矩阵，证明：

是可逆矩阵，给出其逆矩阵计算公式。
利用上题结果，计算的逆矩阵：
（1）；（2）。
习题4.6
1.按定理6，写出矩阵与初等矩阵乘积的结果：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）。
2．用行初等变换方法求下列矩阵的逆矩阵：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
3．用行初等变换方法解下列矩阵方程：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）。
4．仿照定理9，类比求解矩阵方程的列初等变换方法。
5．用列初等变换方法解下列矩阵方程：
（1）；（2）。
6．设为矩阵，，证明：存在级初等矩阵与级初等矩阵使

其中是矩阵的标准形。
习题4.7
1.设分别是和矩阵，计算或证明：
1）；
2）；
3）；
4），其中。
2．设可逆，试证：如果可逆，则存在,并求。
3．设都是矩阵，可逆并且，证明：
1）；
2）。

矩阵行列式与可逆矩阵
一、n阶矩阵行列式
下面介绍线性代数中另一个基本概念——行列式，由于内容较多，我们主要介绍行列式的定义及其简单的计算，行列式的性质等内容请大家自己学习教材.
定义2.9对任一n阶矩阵A=
用式

表示一个与A相联系的数，称为A的行列式，记作.
规定：当n=1时，；
当n=2时，；
当n>2时，，
其中=，称为中元素的余子式，它是中划去第一行、第j列后剩下的元素按原来顺序组成的n–1阶行列式；为中元素的代数余子式.
（由定义可知，一个n阶矩阵行列式表示一个数，而这个数可以由第一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和求出.
应该指出的是，方阵是一个数表，不能求数值的；而与它相应的行列式则表示一个数，是可以计算数值的.）

行列式的性质
性质1行列式与它的转置行列式相等，即.
性质2互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号.
性质3n阶行列式等于任意一行（列）所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
（）
其中i=1,2,…,n(j=1,2,…,n).
性质4n阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）的相应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即当时，有.
性质5行列式一行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面.即

性质6若行列式的某一行（列）元素都是两数之和：

则等于下列两个行列式