可逆矩阵的求法.doc

高等代数小论文

学院：数计学院班级：10级1班姓名：任莎莎（1008020127）彭莎（1008020143）

可逆矩阵的求法

：我们在书本上学习了用初等变换法和伴随矩阵法求逆矩阵，下面我们将再介绍3种求逆矩阵的方法：（1）二阶矩阵的公式求逆法（2）利用解线性方程组求逆矩阵（3）分块法求逆矩阵。

目录：
矩阵的引入（2）
矩阵的定义（2）
可逆矩阵的定义（2）
可逆矩阵的性质（3）
可逆矩阵的求法（3）
伴随矩阵法（3）
二阶矩阵的公式求逆法（4）
初等变换法（4）
利用解线性方程组求逆矩阵（5）
分块法求逆矩阵（5）

一、矩阵的引入
在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标的转轴（反时针方向转轴），那么平面直角坐标变换的公式应为
（1）
其中为轴与轴的夹角。显然新旧坐标之间的关系，完全可以通过公式中系数所排成的22数表
（2）
表示出来。通常，数表（2）称为坐标变换（1）的矩阵。在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换公式有
（3）
同样，数表
（4）
称为坐标变换（3）的矩阵。

二、矩阵的定义
由数域F上的个数（）排成的行（横的）列（纵的）数表称为数域F上的一个矩阵，简称矩阵。
三、可逆矩阵的定义
对于阶矩阵A，若存在阶矩阵B，使得AB=BA=I，则称A为可逆矩阵（或非奇异矩阵），或A可逆。称B为A的逆矩阵。

四、可逆矩阵的性质
1）若A可逆，则A的逆矩阵也可逆，并且=A。
2）若A,B均可逆，则AB也可逆，并且。
3）若A可逆，则也可逆，且。
4）若A可逆，则。
5）若A可逆，则。
6）若A可逆，则。

五、可逆矩阵的求法
（1）伴随矩阵的求法：
定义：设是矩阵中元素的代数余子式，矩阵称为A的伴随矩阵。

由行列式依行（列）展开公式可得。若A可逆，则，于是，所以。
例1设
，判定A是否可逆，若可逆，求。
解：因为，所以A可逆，又
，所以=
。

（2）二阶矩阵的公式求逆法：
设（其中），则，
这个公式的推到思想是从这个重要结论出发，构造一个矩阵B，去左乘A使其等于单位矩阵A，即若AB=I那么。这种方法只适用于求二阶矩阵的逆矩阵。

（3）初等变换法：

这是一种最常用的方法，为了看出如何用初等变换法求逆矩阵，先证一个引理：可逆矩阵的行简化阶梯形矩阵一定是单位矩阵，换句话说，可逆矩阵可以经过一系列初等变换化成单位矩阵，即，。
例2
求的逆矩阵。
解：因为

所以。

利用解线性方程组求逆矩阵

若阶矩阵A可逆，则，于是的第列是线性方程组的的解，因此我们可以去解线性方程组，其中，然后把所得的解的公共式中分别用1，0，…0；0，1，…0；0，…，0,1代替，便可求的的第1,2，…n列。这种方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单些。

分块求逆法

当一个可逆矩阵的级数较大时，即使用初等变换法求它的逆矩仍然计算量较大，如果把该矩阵分块，再对分块矩阵求逆矩阵则可减少计算量，用分块求逆法解题的具体步骤为：
=1\*GB3①根据所给矩阵A的特点分块为
=2\*GB3②选择适当的分块求逆公式：设均可逆；则，
，。
设4阶方阵试求。
解：设
。

【参考文献】
初等变换的关系与可逆矩阵的分解——张新发
高等代数题解精粹——钱吉林
高等代数（第二版）——徐德余
高等代数习题解——杨子胥