2011复变与积分变换试题(B).pdf

江苏大学试题

（2011-2012学年第一学期）

课程名称复变与积分变换（B）开课学院理学院

使用班级10各专业考试日期2011/12/23

题号一二三四五六七八总分核查人签名

得分

阅卷教师
姓名

一.填空（20分，每题4分）

1
1．求函数fz()=,的奇点____________________________。
eiz+
2.求Ln(−+34i)的值_________________,主值_______________。

3．对任意可微函数f()t,有δ(tt−0)∗=ft()=_________________。
学号

4．F⎣⎦⎡⎤δδ(ta−+)(ta+)=________。Lutut⎣⎡2()+−(2)⎦⎤=___________。

5．设FFft(ω)()=⎣⎦⎡⎤Ff⎣⎡′′(t)⎦⎤=______________。
。
Fftt⎣⎦⎡⎤(−0)=_____________

二．解下列各题(18分,每题6分)
y
1.设函数fz()=++aln()x22yiarctan在x>0时解析,确定a的值。

专业、班级x
10
⎛⎞
．计算13+i的值。
2⎜⎟
⎝⎠13−i
3．设vxy(),si=epxny，求p的值使vxy(,)为调和函数，并求其共轭调
和函数ux(,y)以及解析函数f(zuxyivxy)=+(,,)()。
三．计算下列积分(11分)
ez
1．（5分）dz（沿积分路径正向）
∫2
z=3zz()−1
学生所在学院

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2．（6分）tanπzdz,其中cz:=nn,是正整数
∫c
四．指出下列函数的有限孤立奇点类型，并求出对应奇点的留数。(8分)
32z+
1．
zz2()+2
2．1
1
sin
z
1
五.将函数fz()=在1)11<z<,2)11<z−<+∞内展开为洛朗级数.(9
zz()1−2
分)
六.解下列各题(18分,每题6分)
−t
tetsin2
1.设f()t=dt,求L⎡⎤ft();
∫0t⎣⎦
1
设求−1
2.Fs()=2,L⎣⎦⎡⎤Fs();
ss()−1
+∞sin2t
3.计算积分:dt;
∫0t
七．求ft()=>e−βt(β0)的傅氏变换，并证明下列积分等式：(8分)

+∞cosωtπ−βt
deω=。
∫0βω22+2β
t
八．用L变换解微积分方程：yt′()+y()ττd==ty,0()0。(8分)
∫0

2011（下）复变与积分变换解答

一．填空（每小题4分，共20分）

π
1．zk=−(2π)ik,=±±01,2,
k2

⎡4⎤4
2．)kiπ−++tanarg)12(5ln,∈Zk；主值ln5+−i(πarctan);
⎣⎢3⎦⎥3

3．f()tt−0

21
4．2cosaeω,+−2s
ss

2
5．(jFω)()ωω,eF−jtω0()

y
二．1解：因为ua=+=ln()x22y,varctan；
x

∂∂∂−∂uaxuayvxvx22
所以====,,,，
∂+∂+∂+∂+xxy22yxyxxyyxy222222

由C-R条件知：a=1---------------------------------------------------------（6分）

⎛ππππ⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
2．解：1+=3ii2⎜cos+sin⎟,1−=3i2⎜⎟cos⎜⎟−+isin⎜⎟−
⎝33⎠⎝⎠⎝⎠3⎝⎠3

1010
⎛⎞13+⎡i⎛⎞⎛⎞ππππ⎤202013
⎜⎟=+++=+⎢⎥cos⎜⎟⎜⎟iiisincosππsin=−+
⎝⎠13−i⎣⎦⎝⎠⎝⎠33333322

-------------------------------------（6分）

∂∂22vv
3．解：∵vxy(),为调和函数，∴+=0；
∂∂22xy

即pe2pxsiny−epxsiny=0，所以p=±1

∂uvu∂∂∂v1
利用C-R方程：=−,,=∴uxy(),==+epxcosydxepxsinygy()
∂y∂∂xx∂y∫p

⎛⎞11px⎛⎞px
所以gy′()=−⎜⎟pesinygy,()=−⎜⎟pecosyc+
⎝⎠pp⎝⎠

xz
⎪⎧eyiycecp(cos++=+=sin)1
即uxy,cos=+pepxyc，fz=。（6分）
()()⎨xz−
⎩⎪−eyiycecp()cos++=−+=−sin1

三．1解：积分路径内三个一级极点zzz=0,==−1,1

eeeezzzz−
=++
zz()2−1zz2121()−+()z

ez11⎛⎞1
dz=−+⋅+⋅=+−222ππππie01ieie−1ie2--------------------（