高数AB期末试卷及答案.docx

高等数学AB期末考试卷
填空题（每小题4分，共20分）
1.
函数fx
1r~
的间断点
是第类间断点.
2.
已知F
x是fx的一个原函数，且fx
xFx
C则^
3.
x25ex exdx
4.
x服/1U4dudt,则f0
0 1
5.
设函数
fx2x
dtn,
x0,则当x
xV；1 t3
时,取得最大值.

单项选择题（每小题4分，共16分）
1.设当xx时,
0
x都是无穷小
x0,则当x x°时，下列表达式

中不一定为无穷小的是

c：1
2xsin-x
(C)ln1xx

2x
(B)2
x

(D)|x、--1X2X1
曲线yex2arctan的渐近线共有
x1x2
TOC\o"1-5"\h\z[]
(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条
微分方程yy2yxe2x的一个特解形式为y
[]
(A)axbx2e2x(B)axe2x(C)axbe2x(D)
axbxe2x
下列结论正确的是
[]
若c,da,b，则必有dfxdxbfxdx.
ca
若fx|在区间a,b上可积，则fx在区间a,b上可积.
若fx是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有
aTfxdxTfxdx.
（D）若fx在区间a,b上可积，则fx在a,b内必有原函数.
（每小题7分,共35分）
xlncostt2dt
1.lim
x0X3
2.设函数yyx是由方程x2
y2yexy2所确定的隐函数,求曲线

yyx在点0,2处的切线方程.
3.xjcos2xcos4xdx
0
4.
arctax,dx

x3
yyxsinx
求初值问题n1n1
y01,y0-
lnx
2
的解.
（8分）在区间1,e上求一点，使得图
中所示阴影部分绕x轴旋转所得旋转体的体积最小.
一一一b2ba
（7分）设0ab,求证ln——
aab六.（7分）设当x1时，可微函数fx满足条件
xf
0
tdt0
1,试证：当
0时，有ex
成立.
.（7分）
设fx在区间
1,1上连续，且
1fxdx
1
tarxdx
0,
证明在区间1,1内至少存在互异的两点
2，使
0.
04-05-2高数AB试题答案
一.填空题（每小题4分，共20分）
1.0,
3.
4e
1；
4.
1；
5.
；3打。
单项选择题（每小题4分，共16分）
1.
A；
3.D;
4.
C.
三.
（每小题7分，共35分）
1
1.-
6
2.y4x2
J
或4x3y
0)
3.原式=2
sinx|cosx|dx3分
0
2sinxcosxdx
0

14.-
2
5.y
cosxsinxx
x
—cosx
2

四.(8分)Vt
tInx2dxe(1Inx2)dx
xInx22xInx2xt
i
xInx22xInx2xeet
t
2tInt24tlnt3t2
2Int210,得te3,且Ve*20,因此
te^是Vt在1,e上的唯一的极小值点，再由问题的实际意义知必存在最小体积，故e才是最小值点.
(7分)提示：设^^原不等式等价于lnt21必，t1,
at1
即等价于f(t)(t1)lnt2(t1)0,t1。(用函数单调性证明)
(7分)由题知f01,所给方程变形为
x1fxx1fxxftdt0,两端对x求导并整理得
(x1)f(x)(x2)f(x)0,这是一个可降阶的二阶微分方程，可用分离变量法求
得fxC^。由于f01,得C1,f(x)0,f(x)单减，而
1x1xf(0)1,所以当x0时，f(x)1,对f(x)

ext…
-一0在0,x上进行积分
1x
f(x)f(0)

et
x——dt1
01t

xe-tdtex
0

七.（7分）记Fxxftdt，则Fx在
1,1上可导，且F1F
1,1内无零点，不妨设Fx
0,x1,1
tanxdx1
tanxdF(x)Fxtanx1
11
sec2xdx
1Fxsec2xdx0
此矛盾说明Fx
在11内至少存在一个零点％

1,x,x。,1上分别使用Rolle定理知存在

1,x
10
x0，1
0,即f
2
0。