高数AB第二学期期末试卷含答案.docx

考试卷(A卷)
()

课程名称高等数学A、B期末考试学期06-07-2得分
1.l位 ___
x0x(cosx1)

x1t2
2.曲线在t2对应的点处的切线方程
yt3
为;
函数f(x)xln(1x)在区间内严格单调递减；
设yy(x)是由方程xylny1所确定的隐函数，则y(0);
5.1
11x2x4x(1x2侦1x2dx；6.设f(x)连续，且xtf(2x
0t)dt1
—arctanu，
2已知f1)1,则f(x)dx_;1
yx
已知yy(x)在任意点x处的增量y匚—，当x0时，是
1x2
x的
高阶无穷小，已知y(0),则y1)——;
曲线yxlne1的斜渐近线方程是；
x一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)
xxet2dt2
1X'LlcoSx1)3；
X1t2
曲线在t2对应的点处的切线方程为y3x7；
yt3
函数f(x)xln(1x)在区间(1,0)内严格单调递减；
设yy(x)是由方程xylny1所确定的隐函数，则y(0)e2；
5.
x5
11 x2 x4
x\.；1 x2 X.1 x2dx

6.设f(x)连续，且
xtf(2xt)dt；arctaix2，已知f1)1,则
,、3
f(x)dx—
4
已知yy(x)在任意点x处的增量y，当x0时，是x
1x2
的
高阶无穷小，已知y(0)，则y(1)亶；
曲线yxlne1的斜渐近线方程是yx1；xe
若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解y1e3x,y2ex，则该方程为y4y3y0
二.计算题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)
计算不定积分竺竺Mx
<xx2
解：arcco还dx2arCC0巫d./x2arcco而arccos/I
萼xx2<1xarccos'x2C
2.计算定积分2x|sinx|dx
0
解：2
0
x|sinx|dxxt
(t)|sint|dt
sintdt
3.计算反常积分
XX2
—dx1
解：
1
XX2
—dx1
21
X2
d(x2)
X21
iln2
X2
X2
1
!ln22
4.设G
(x)
(x)dx
dt
1<1t3
1G(x)dx
0
xG(x)
1xG
0
(x)dx
1X2
1dx
0
1X3
三.（本题满分7分）求曲线
解：
四.
lncost
1自
-sint
2
彳一段弧的长度。
—1—
tairt—cos2tdt
4
ln(sectant)-sint
2
ln1
（本题共2小题，第1小题7分，
-2cos2
4
0
tdtcost
第2小题9分，
1.求微分方程yysinxy2cotx的通解。
解：y22cotxy22cosx
1
4sectdt2
满分16分）
4costdt
0

y2e2cotxdx2
cosxe2cotxdxdxCC—即

一•3
求微分万程yyxsinx的特解，使得该特解在原点处与直线y^x相切。
x
解：yC1cosxC2sinxx-^cosx,由题设条件得3x
y(0)0,y(0)①，求得C10,C21,于是ysinxx^cosx
五.(本题满分7分)设问1,求积分I(a)"xa|e2xdx的最大值。
1
解：
aI(a)
ae2xdx
11xa
1
4axe2
1e2xdx
xdx4(a
1
1xe2xdx
ax)e2xdx1(xa)e2xdx
aa^2xdx
a令I(a)4e2xdxae2aae2aae2a、2xdxae2a4ae2xdx1e2xdx1a1ae2a1
-e2
2e2e2ach20,得alnjch2为唯一驻点I(a)2e2a0,IIn何a为Ia在［1,1］上的最小值，而最大值只能在端点x1,x1取得。
I13e21
—e2,I1ie25e2,所以I,I13e21
—e24444max44(2分)

六.(本题满分6分)设函数f(x)在［2,4］上存在二阶连续导数，且f(3)0,
证明：至少存在一点［2,4］,使得f()34f(x)dx。
2f()..证：f(3)0,f(x)f(3)x3)—(x3)2,(2,4),
2
由于f(x)在［2,4］上连续，f(x)在［2,4］上存在最大值M和最小值m，故
m/°、f()/°、M/°、
(x3)2(x3)2一(x3)2,m4f(x)dxf3)4(x3)dx—4f()X3)2dx—,
322223
即m34f(x)dxM,由介值定理知至少存在一点[2,4],使得
2
f()34f(x)dx222