安徽省数学高三上学期自测试卷及答案指导.docx

安徽省数学高三上学期自测试卷及答案指导
一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、在函数y=ax2+bx+c中，若a>0，b=0，c=0，则该函数的图像为：
A.两条平行于x轴的直线
B.一个开口向上的抛物线
C.一个开口向下的抛物线
D.一个水平直线
答案：B
解析：因为a>0，所以二次项系数为正，抛物线开口向上；由于b=0，c=0，所以抛物线经过原点，且顶点坐标为0,0，故该函数的图像是一个开口向上的抛物线。
2、若函数fx=x3−3x2+4x+1在x=a处取得极值，则a的值为：
A.1
B.2
C.3
D.−1
答案：B
解析：首先对函数fx求导得到f′x=3x2−6x+4。令f′x=0解得3x2−6x+4=0。使用求根公式，得到x=1或x=23。接下来，我们需要确定这两个点中哪一个点对应极值。通过求二阶导数f″x=6x−6来判断极值类型。在x=1时，f″1=0，因此不能确定极值类型，需进一步检查。在x=23时，f″23=0，同样不能确定。所以，我们需要检查函数在这两个点附近的变化趋势。通过计算fx在x=1和x=23附近的值，可以发现当x从23增加到1时，fx的值先减小后增加，因此x=1是一个极小值点。所以a=1，选项B是正确答案。
3、已知函数fx=2x−3，其定义域为：
A.x≥32
B.x>3
C.x≤32
D.x<3
答案：A
解析：由于根号内的表达式必须大于等于0，所以有2x−3≥0，解得x≥32，因此函数fx=2x−3的定义域为x≥32。选项A正确。
4、在等差数列{an}中，已知a1=3，d=2，那么前n项和Sn的最大值是（）
A、36
B、72
C、108
D、180
答案：B
解析：首先，根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可以求出数列的通项公式为an=3+(n-1)×2=2n+1。
接下来，使用等差数列前n项和的公式Sn=n/2×(a1+an)，代入an的表达式得到Sn=n/2×(3+2n+1)=n/2×(2n+4)=n(n+2)。
为了找到Sn的最大值，需要对其进行求导。对Sn求导得到dSn/dn=n+2，令导数等于0得到n=-2，但n为正整数，所以这个解不符合题意。
由于导数dSn/dn随n的增大而增大，所以当n=1时，Sn取得最小值；当n=2时，Sn取得最大值。代入n=2得到S2=2(2+2)=8。
代入n=9得到S9=9(9+2)=99。
因此，Sn的最大值为99，选项B正确。
5、已知函数fx=x3−3x2+4，则函数的极值点个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：首先对函数fx求导，得到f′x=3x2−6x。令f′x=0，解得x=0或x=2。接下来，我们检查这两个点是否是极值点。我们可以通过分析导数在x=0和x=2附近的符号变化来确定。
当x<0时，f′x>0，因此函数在x=0左侧是递增的。
当0<x<2时，f′x<0，因此函数在x=0和x=2之间是递减的。
当x>2时，f′x>0，因此函数在x=2右侧是递增的。
由此可见，x=0是一个极大值点，x=2是一个极小值点。因此，函数fx有两个极值点，选项C正确。
6、已知函数fx=lnx−1−4−x的定义域为(1,3]，则下列选项中，fx的值域为：
A.(−∞,1]
B.(−1,0]
C.(0,1]
D.1,∞
答案：B
解析：由于fx=lnx−1−4−x，首先确定定义域。因为对数函数的定义域要求对数内的值大于0，即x−1>0，解得x>1；而根号下的表达式要求非负，即4−x≥0，解得x≤4。因此，fx的定义域为(1,3]。
接下来分析函数的单调性。对fx求导得：
f′x=1x−1−124−x
将f′x化简得：
f′x=24−x−x−12x−14−x
因为1<x≤3，所以24−x−x−1>0，即f′x>0。因此，fx在定义域(1,3]上是单调递增的。
由单调性可知，fx的值域为定义域两端点函数值的闭区间。计算f1和f3：
f1=ln1−1−4−1=−3
f3=ln3−1−4−3=ln2−1
因为−3<−1<0，所以fx的值域为(−1,0]。因此，选项B是正确答案。
7、已知函数fx=1x2+1，下列选项哪一个正确描述了此函数在其定义域内的性质？
A.函数fx在整个实数集上单调递增。
B.函数fx在整个实数集上单调递减。
C.函数fx在区间(−∞,0]上单调递增，在区间0,+∞上单调递减。
D.函数fx在区间(−∞,0]上单调递减，在区间0,+∞上单调递增。
答案与解析：
为了找到正确答案，我们需要计算给定函数的一阶导数，并根据一阶导数的符号来判断函数的单调性。让我们计算fx的一阶导数。一阶导数为f′x=−2xx2+12
解析：
当x<0时，f′x>0，这意味着函数fx在区间(−∞,0]上单调递增。
当