新疆数学高三上学期自测试卷及答案指导.docx

新疆数学高三上学期自测试卷及答案指导
一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、已知函数fx=log2x+1−3，则该函数图像经过下列哪个点？
A.1,−2
B.3,0
C.7,1
D.15,2
答案:C
解析:首先确定给定函数的形式。对于选项中的每个点x,y，我们将x的值代入给定的函数表达式fx=log2x+1−3中，计算对应的y值，看是否与选项中的y相符。
让我们逐一验证这些选项。计算得到：
对于点1,−2，代入x=1得到f1=−2；
对于点3,0，代入x=3得到f3=−1；
对于点7,1，代入x=7得到f7=0；
对于点15,2，代入x=15得到f15=1；
因此，只有当x=7时，函数fx的值与选项C中给出的y值相匹配，即f7=0，所以正确答案是C.7,1。
这道题目考察了学生对对数函数图像的理解以及简单的代数计算能力。
2、已知函数fx=logax−1+2，其中a>0且a≠1。如果该函数的图像经过点5,4，则常数a的值为：
A.12
B.2
C.3
D.4
答案：
我们可以通过代入点5,4到给定的函数表达式中求解a的值。即求解方程:4=loga5−1+2
接下来，我们计算a的具体值。解析：
通过求解方程4=loga5−1+2，我们得到常数a=2。
因此，正确答案是选项B.2。这表示给定条件下，函数fx=logax−1+2中的底数a为2。
3、已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π/2)的最小正周期为π，且f(π/4)=-3，则()
A.f(x)的图象关于直线x=π/4对称
B.f(x)在区间(0,π/2)上单调递减
C.f(x)的图象关于点(π/4,0)对称
D.f(x)在区间(0,π/2)上单调递增
答案：C
解析：
1.根据正弦函数的周期性，有T=2πω=π，解得ω=2。
2.已知fπ4=−3，代入fx=3sin2x+φ，得3sinπ2+φ=−3。
3.利用正弦函数的性质，sinπ2+α=cosα，所以3cosφ=−3，解得cosφ=−1。
4.由于0<φ<π2，结合cosφ=−1可知这是不可能的。但考虑到正弦函数的周期性，φ可以是π2+2kπ（k∈Z）的形式。由于0<φ<π2，唯一满足的是φ=π2（尽管这个值在边界上，但题目允许取到边界）。
5.因此，fx=3sin2x+π2=3cos2x。
6.对于选项A，由于fπ4=3cosπ2=0，不是最值，所以fx的图象不关于直线x=π4对称。
7.对于选项B和D，当x∈0,π2时，2x∈0,π，在这个区间内，cos2x是单调递减的，所以fx在区间0,π2上也是单调递减的。
8.对于选项C，由于fπ4=0，所以fx的图象关于点π4,0对称。
4、已知函数fx=logax−1（其中a>0且a≠1）与直线y=x相切，则实数a的值为：
A.e12
B.e23
C.e34
D.e
答案及解析：
为了找到满足条件的a值，我们首先需要确定函数fx=logax−1与直线y=x的相切点。根据相切的定义，这两条曲线在某一点有相同的斜率并且通过该点时函数值相等。
给定函数可以重写为fx=lnx−1lna，因此其导数表示该函数在任意点处的斜率。我们可以通过求导找到这一点，并利用这个信息解出a的值。
求fx的导数f′x。
解方程组：
1.f′x=1（斜率相等）
2.fx=x（函数值相等）
接下来，我们将计算具体的步骤。解析继续：
通过解方程组得到的解为x=1+1We−1和a=eWe−1，这里Wz表示兰伯特W函数，它是WzeWz=z的解。对于本题而言，我们需要一个更简洁的形式。由于We−1=−1，我们可以进一步简化上述表达式。
5、已知x，y∈R，则“x>1且y>1”是“x+y>2且xy>1”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件首先，考虑充分性：
若x>1且y>1，则x+y>1+1=2，同时xy>1×1=1。
因此，当x>1且y>1时，x+y>2且xy>1一定成立。
然后，考虑必要性：
若x+y>2且xy>1，我们需要判断这是否能推出x>1且y>1。
考虑反例法，取x=0.5，y=5，则x+y=5.5>2且xy=2.5>1，但x=0.5≤1，所以x>1且y>1不成立。
因此，“x+y>2且xy>1”不能推出“x>1且y>1”。
综上，“x>1且y>1”是“x+y>2且xy>1”的充分不必要条件。
故答案为：A.充分不必要条件。
6、已知函数fx=sin2x+π4的图像向右平移π8个单位长度后得到函数gx，则函数gx的一个周期内的最大值点坐标为：
A.π8,1
B.3π8,1
C.π4,1
D.0,1
答案与解析：
我们首先根据函数平移的规则找到函数gx的表达式。给定的函数fx=sin2x+π4向右平移π8单位后的函数g