北大.群论.讲义.王宏利.第2章.doc

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群表示理论基础
§2.1群表示
【定义2.1】（线性空间）
数域K（实数域R或复数域C）上的线性空间V是一个向量集合，；该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合V在加法运算下构成交换群，满足：

数乘运算KV→V满足：

【定义2.2】（线性无关和维数）
线性空间V中，任意n个向量，其线性组合当且仅当时成立，则称此n个向量线性无关，否则它们线性相关。线性空间中线性无关向量的最大个数m，称为空间V的维数，记为dimV=m。

【定义2.3】（基矢）
设V是n维线性空间，则V中任意一组n个线性无关的向量，称为空间V的基矢，记为。空间中任意矢量均可表示为n个基矢的线性组合，。矩阵形式：

【定义2.4】（线性变换）
线性变换A是将V映入V的线性映射，满足：

线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法

故有矩阵形式：

若，则称线性变换A非奇异，A有逆变换A-1，[A-1]=[A]-1。

【定义2.5】（线性变换群）
定义两个变换的乘法为两个线性变换的相继作用，则n维复线性空间V上的全部非奇异线性变换构成的集合在此乘法下构成一个群，称为n维复一般线性群，记为GL(V,C)，其子群L(V,C)称为V上的线性变换群。

【定义2.6】（群表示）
设有群G，如果存在一个从G到n维线性空间V上的线性变换群L的同态映射A，则同态映射A称群G的一个线性表示，V为表示空间，n称为表示的维数。

其中g0为G的单位元，E为L中的恒等变换。

·系1在表示空间V选一组基，线性变换群可化为矩阵形式，故群在表示空间V上的线性表示，亦可定义为G到矩阵群的同态映射A。
·系2若群GG′，则G的表示也是G′的表示。
·系3一个群G原则上可有无限多的表示。

【定义2.7】（忠实表示）
如果群G到线性变换群L的映射A为同构映射，则该表示称为忠实表示。

群表示理论研究抽象群的矩阵表示的结构、类型等规律。

例2.1任何群G恒与{1}同态，{1}是任何群G的表示，称为一维恒等表示。

例2.2三个简单的二阶变换群的表示。其矩阵形式即为它们的表示。
取表示空间为R3，基矢：。
①为对xy平面的反演。
群本身是定义在R3空间上的线性变换，故其本身是自己的一个表示，选择一个具体基矢可以将其矩阵化：

故表示矩阵为：
②，表示矩阵为：

③，其表示为：

以上三个群均是R3上的变换群，故其本身就是他们的表示（忠实表示）。他们还可以有其他的表示。如空间反演群有表示，如：

它实际上是三个一维表示的合成：

或者说一个二维恒等表示与一个一维非恒等表示的直和。
，均是互相同构的二阶循环群，具有相同的群表示。他们两个最基本的表示为：
,a分别为。

例2.3D3=群的表示。
①D3有一维恒等表示，；
②D3与Z2同态：

故D3有非恒等一维表示：

③D3为R3的线性变换群，其矩阵形式本身即为它的一个表示。
表示空间V为R3，取基：

同理，可得表示矩阵

=4\*GB3④D3在x,y,z的二次齐次函数空间中的表示，空间的基为：

任何二次齐次函数可表示为以上基函数的线性组合。三维空间中的线性变换g对向量r的改变，同时将对定义在该空间中的标量函数作变换，即g对应一个标量函数变换算符，即。由容易发现，。可以验证变换群与算符做成的函数变换群同构。对于，有：

故,故在函数线性空间上的矩阵形式即为群的一个表示。

故可得Pd的表示矩阵：

其他群元的表示矩阵可以同样得到。

例2.4设粒子的哈密顿量H的对称群为，以粒子某一能级的简并波函数为表示空间，求G的群表示。
解：所有使哈密顿算符H(r)不变的变换形成哈密顿算符群G：
，
与变换对应有标量函数变换算符。设H的本征值为En的，对应本征数为u为简并度指标，简并度为fn，有：
。
这些简并波函数的任意组合均是相同本征值下的本征函数。可以检验，也是H的本征函数：

故En能级的所有简并波函数构成哈密顿算符群{}不变的线性空间。在简并本征函数空间中变换算符的矩阵形式即为哈密顿算符对称群的表示。
记的表示矩阵为，具体形式由下式确定：

§2.2等价表示、不可约表示和酉表示

一个群的表示原则上可以有无穷多个，它们可以分解或约化为有代表性的最基本表示的组合。

【定义2.7】（等价表示）
设群G在表示空间V取基下的表示为，在另一组基下的表示为，若，X为两组基之间的变换，有：
，detX≠0
则称表示等价，或为A的等价表示。
·系1两个用相似变换相联系的表示互相等价：或，(detP≠0),A和B等价。等价表示只是不同基的选择而已，故重要的是寻找不等价的表示，这样就产生了寻找不等价表示的问题。

【定义2.8】（可约表示）
设A是群G在表示空间V上的一个表示，V如果存在G不变的非平庸子空间，是子空间W上的变换群。