北大.群论.讲义.王宏利.第4章.doc

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点群

点群是物理学中有限群的重要例子，在分子光谱和晶体能带结构的研究中有重要应用，在分子物理、固体物理、化学及工程结构力学中有广泛应用。

§4.1三维实正交群O(3)
本节讨论三维欧氏空间R3中的正交变换。
【定义4.1】(三维欧氏空间R3)
定义了内积的实数域上的三维线性空间，记为R3。
·系1选定一组正交归一基（），
，，
·系2内积(点乘)：，，
·系3向量长度：，
·系4向量和的夹角满足
【定义4.2】（实正交变换）
保持R3中向量长度不变的线性变换称为实正交变换，记为O，即，有。
·系1实正交变换是幺正变换。
，
故有=E，E为恒等变换。
故，，有
故O保持内积不变。

故detO=±1,O-1=O+
·系2实正交变换保持R3中矢量夹角不变。

·系3对于任意与处于以原点为球心以为半径的球面上。
【定义4.3】三维实正交群O(3)
R3中所有实正交变换构成一个群，称为实正交变换群，认为O(3,R)或O(3)，其中群元的乘法O1O2定义为先实行O2变换后实行O1变换。
·系1构成群:，有

（利用）
故
·系2O(3)群中全部行列式取值为+1的实正交变换，构成O(3)的一个不变子群，称为三维实特殊正交群，记为SO(3,R)或SO(3):
SO(3)=
①SO(3)是群，，
.,故
②SO(3)是不变子群：，

故
·系3，E为恒等变换，I为空间反演。
证明：由于故O(3)~同态，
由SO(3)的定义知，同态核为SO(3)。
O(3)的陪集分割：O(3)=SO(3)∪ISO(3)
SO(3)→1，ISO(3)→－1
故O(3)中元素可以唯一分解为SO(3)中元素与Z2中元素的的乘积；
而显然,有可交换，满足直积分解条件，
故，。
◆定理4.1◆对任意，可在R3中找到向量，使g=。该称为g的转动轴。
证明：即证方程（g-E）=0有非零解，而方程有非零解的条件为det(g-E)=0。
由于对任何实方阵A有detA=detA+,
故det(g-E)=det(g-E)+=det(g+-E)=det(g-1-E)
=det(g-1(E-g))=detg-1det(E-g)=-det(g-E)
故必有det(g-E)=0，即（g-E）=0恒有非零解。
·系1取归一化后的转轴为Z轴的基矢，则，g有矩阵形式（即
SO(3)自身表示的表示矩阵）：
,记为
为绕轴沿逆时针方向的转角，它同转轴的方位角θ、共同确定SO(3)群的一个元素。故SO(3)群又称转动群，其元素的迹仅与转角有关。
·系2SO(3)中所有具有相同转角的转动元素构成一个共轭类。
，考虑其共轭元素：
，有
共轭元的转轴为，
而
由于SO(3)中元素的迹在不同坐标系下相同，相当于相似变换，仅与转角有关，故与其共轭元有相同转角。
故：=，即相互共轭转动有相同转角；
反过来，具有相同转角的元素一定共轭：
对于任意（为任意单位矢），显然存在转动元素g，
使得，于是可通过g元素共轭。
因此SO(3)中所有相同转角的转动属于同一共轭类。（注意：此结论对于SO(3)的有限子群不成立）

◆定理4.2◆O(3)群中，所有具有相同转角的转动元素是一类，所有具有相同转角的转动反演元素是一类。（此结论对于O(3)的有限子群不成立）
证：（一）考察转动元素的共轭元，
由O(3)=SO(3)∪ISO(3),故，有或：
①若，则
②若，则有O=IOs，
则:
=（利用了I与任意元素可对易）

（－I=E）

综合①，②有：，，,即O(3)中所有具有相同转角的转动元素是一类。
（二）考察转动反演元素的共轭元，任何转动反演元素可以表示为
，有:
，
故O(3)中所有具有相同转角的转动反演元素属于同一共轭类。

§4.2点群

【定义4.4】(点群)
三维实正交群O(3)的有限子群称为点群，只含转动元素的点群称为第一类点群，第一类点群也是SO(3)群的子群。含转动且含转动反演的点群称为第二类点群。

◆定理4.3◆设群G是绕固定轴k转动所生成的n阶第一类点群，则G由转动元素
生成（即为群G的生成元）。
证明：假设,其中0=0，为单位元。
设中的最小正角度为，则所有可写为如下形式：
，其中mi=mod，0≤＜
于是有：=
故
由于，，故。
因为最小正转角，而0≤＜，故必有＝0。
因此有：，i=0，1，2，…，n–1
而，故有，知该群为循环群
n=2л,故
由生成的群称为Cn群，固定轴称为n阶转轴，
Cn群=,为n阶循环群。
·系1，当a为无理数时，则包含或的群不是有限群；而当a为有理数时，含或的群可以是有限群，且可以化为由，生成，故点群作为O(3)的有限子群，只可能含有由所生成的元素，其中n=1，2，……。

◆定理4.4◆设G是O(3)的点群，K是G的转动子群，即K=G∩SO(3)，则群G