北大.群论.讲义.王宏利.第5章.doc

——

第五章置换群与酉群
§5.1n阶置换群Sn

【定义5.1】（置换）
将n个数字{1，2，…，n}的排列映为排列，称为一个n阶的置换，记为s,。
置换s把a1换为b1，a2换为b2，…，an换为bn，它决定于诸双数码的对换，与诸对数码的排列顺序无关。
【定义5.2】（置换群）
定义两个置换r，s的乘积rs为先实行置换s，再实行置换r，则在此乘法下所有n阶置换作成的集合，构成一个群，称为n阶置换群或对称群，记为Sn。
单位元：恒等置换。
逆元：，，
置换的乘法满足封闭性和结合律，Sn群的阶为n！。
【定义5.3】（轮换）
一种特殊形式的置换：称为轮换，记为，轮换数码的个数m称为轮换的阶。
•系1轮换内的数码作轮换，仍表示同一个轮换，即：
。
•系2两个轮换和若没有公共数码，则称它们相互独立；相互独立的轮换之间的乘积满足交换律，即：

•系3任意的n阶置换总可以分解为相互独立轮换的乘积。例如：
（145）（2）（36）=（145）（36）
=（1）（2）…（n）
一阶的轮换将自身映为自身，可略去不记，故S0=（1）=（2）=…=（n）。
•系4轮换的逆：（e1e2…em）-1=（emem-1…e2e1）
•系52阶轮换（e1e2）称为对换，任一m阶轮换可以写为（m-1）个对换的乘积。如：

一般地有：。
由于诸对换因素有相同数码e1，故它们的乘积不可交换。
•系6任意对换（aa+k）满足递推关系：（aa+k）=(a+1a+k)(aa+1)(a+1a+k)
证明：
右边

=左边。
•系7由系3、系5、系6可知，任意置换可以写为相临数码对换的积。
例如=（14）（13）
=（24）（12）（24）（23）（12）（23）
=（34）（23）（34）（12）（34）（23）（34）（23）（12）（23）
一般地：
（aa+k）=（a+1a+k）（aa+1）（a+1a+k）
=（a+2a+k）（a+1a+2）（a+2a+k）（aa+1）
×（a+2a+k）（a+1a+2）（a+2a+k）

◆定理5.1◆具有相同轮换结构的置换构成Sn群的一个类。
证明：两个置换具有相同轮换结构是指它们包含相个数的轮换因子，并且各轮换因子中数码个数也分别相同。
共轭置换具有相同轮换结构:
，
,,有：

s的共轭元由t对s中上下两行数码同时作t置换得到。当s为无公共数码轮换的积的形式时，的轮换形式由t对s的每个轮换因子中的数码作置换得到。
假设置换s有k个独立轮换因子si,i=1,2,…k构成，s=s1s2…sk,则共轭tst-1=ts1t-1ts2t-1…tskt-1。考察t对一个轮换因子si的共轭运算，假设：，
，
在t的变换下，si的第一行假设被变换为（t1t2…tm-1tm），则其第二行必变换为（t2t3…tmt1），于是，
，
仍然是同阶的轮换，它由t对si的中的数码做置换得到。故tst-1通过t对s中的轮换数码做置换得到，两者具有相同的轮换结构。
如：
，
，
有：。
②具有相同轮换结构的置换相互共轭：
若s，具有相同轮换结构：
，
，
则存在，
有r=tst-1。
由①，②知具有相同轮换结构的置换构成Sn群的一个类。
•系1Sn群的一个类可用轮换结构（v）来表示
，即该类由独立的v1个1阶轮换，v2个2阶轮换，…，vn个n阶轮换。v1，v2，…，vn为非负的整数，满足：
•系2Sn群中的类（v）的元素个数为：，这是因为：
①l阶的一个轮换有l种写法：
，vl个l阶轮换共有种写法；②vl个l阶轮换有vl！种不同的排列。
•系3Sn群的类常用来描述，其中：
，
…，
显然：，且。
，一般地。称为n的一个分割，Sn群中共轭类的数目等于n的分割个数；两个分割，，如果第一个非零差，则称大于，记为>。
•系4n的一个分割或Sn群的一个类经常用杨图来表示：杨图是n个小方格的排列，排列方式为第一行、第二行、…、第n行各由个小方格组成，杨图第一列的小方格上下对齐。

例5.1S3群的类分割：[3]，[21]，[111]≡[13]，杨图为：

分别对应（132030），（112130），（102031）。
S4群的类分割：[4]，[31]，[22]，[211]，[1111]，5个类对应的杨图：

对应（14203040），（12213040），（10223040），（11203140），（10203041）。
一个杨图若可以由另一个杨图的行列互换得到，则称该二杨图相互共轭；若一个杨图行列互换而杨图不变，则称它自轭。

§5.2杨盘及其引理

【定义5.4】（杨盘）
将数字1，2，…，n分别填到Sn群杨图的n个小方格中，这样的杨图称为杨盘。
S6的杨图[321]的两个杨盘Ta和Tb：

·系1由一个杨图可以得到n!个杨盘。
·系2杨盘中的