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第三章置换群
置换群的理论体系虽然很庞大，但其结果却简
单明了，从应用的角度来考虑，本章将主要介绍置
换群的有关结论.
§3.1置换群的共轭类
1.置换的循环与对换分解
在§1.2节我们曾介绍过置换的概念,n个符号
的任意置换记为：
其中是1－n中的某一数字.
(1)式所示的置换可以用一个更简洁的方式来
表示，这就是用若干个没有公共数字的独立循环之
积来表示，如

其中(5)称为单循环，它代表5变为5.即5不变.(14)
为二循环，它代表1变为4，而4又变为1.(236)为
三循环，代表2变为3，3变为6，6又变为2.
一般用记号
代表一个k循环，并称k为循环的长度，两个数字的
循环(即循环长度k=2)又称为对换.显然，两没有
公共数字的独立循环之间是相互对易的，如

而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结
果，如

单循环往往省去不写，如(2)式可写成

任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之
积，如

而一般情况下可以证明：

当两个对换含有相同数字时，这两个对换是不可对易
的，如

由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字的
独立循环之积，而一个循环又可分解为若干个含有相
同数字的对换之积.因此，一个置换可分解为若干个
含有相同数字的对换之积.由于一个循环分解为对换
乘积的形式不是唯一的，如(3)式示,所以一个置换可
分解为对换之积的形式不是唯一的.一个置换若能分解
为奇数个对换之积，则称为奇置换.反之,一个置换若
能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换.一个置换可
分解为对换乘积的形式虽然不是唯一的，但其奇偶性却是唯一的.因为任一置换可分解为形式一定的循
环乘积，而每一循环长度k的奇偶性一定，若循环
长度k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积,
如.反之，若长度k为
奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如
.任一置换和它的逆具
有相同的奇偶性.如

显然两个偶(奇)置换之积为偶置换，一个奇置换与
一个偶置换之积为奇置换.
记所有偶置换的全体为，则的数目正好等于个.并且由于偶×偶=偶满足封闭,单位元
(恒等置换—零个对换)，另，故
构成的一个子群，且是一个不变子群.因为对
于任意的，有

显然商群是二阶群,它有两个一维表示
与,而任何一商群的表示也一定是其大群
的表示，所以群一定有两个不等价的一维表示,
其中一个是，即中的所有置换都对应于单
位元1，此为恒等表示.另一个一维表示是,
在该表示中所有偶置换都对应于1，而所有奇置换都对应于－1.
2.的共轭类
现在我们来讨论一下置换群的共轭元素和类.
设有两个置换与，它们都是的群元素，
其中

则的共轭元素为：
这一结果表明，欲求置换的共轭置换，只
需对置换中的上下两行数字同时施行置换,
例如

对的上下两行数字同时施行置换得：

若将置换分解为独立循环之积的形式，上述求
共轭元素的规则又可表述为：欲求置换的共轭
置换,先将与写成独立的循环之积的形式，然后对的每个循环因子中的数字分别施行
置换.
如在上例中，我们有

对中的每个数字分别施行置换得：

与前面所得结果相同.
由上面的讨论可见，与它的共轭元素有
相同的循环结构.反之，有相同的循环结构的元素一定是相互共轭的，而群中所有相互共轭的元素组
成一个共轭类，为了确定群中共轭类的数目,人
们引入了配分的概念:
约定按循环长度递减来排列独立循环之积的次
序，而包括在n次循环中的循环总长度等于n，这
样n可分解为一些不增加的整数之和，称为n的一
个配分,且每一个n次置换都对应于一个n的配分，
如置换

其配分为：
6=3+2+1
或简记为[321].由于相互共轭的元素具有相同的循环结构，所以互为共轭元素的配分是相同的.也
就是说的一个共轭类中的所有元素对应于n的同
一个配分，所以置换群的共轭类数目等于n的不
同的配分数.
例1:有两个类
配分[11]=[],有一个元素:(1)(2)=.
配分[2],有一个元素:(12).
有三个类
配分[111]=[],有一个元素:(1)(2)(3)=.
配分[21],有三个元素:(12)、(13)、(23).
配分[3],有两个元素:(123)、(132).有五个类
配分[1111]=[],有一个元素:
(1)(2)(3)(4)=.
配分[211]=[2],有六个元素:(12)、(13)、
(14)、(23)、(24)、(34).
配分[22]=[],有三个元素:(12)(34)、
(13)(24)、(14)(23).
配分[31]，有八个元素:(123)、(132)、
(124)、(142)、(134)、(143)、(234)、(243).
配分[4]，有6个元素：(1234)、(1243)、
(1324)、(1342)、(1423)、(1432)