近世代数课件--2.6 置换群.ppt

§6.置换群变换群的一种特例,叫做置换群,在代数里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程能不能用根号解这个问题时就要用到这种群．这种群还有一个特点，就是它们的元可以用一种很具体的符号来表示，使得这种群里的计算比较简单．现在我们把这种群讨论一下．6.1置换群我们看一个有限集合，有个元．由Ⅱ，５，的全体置换作成一个群．6.2置换的表示方法:2-行法形式不唯一.在这种表示方法里，第一行的个数字的次序显然没有什么关系，比方说以上的我们也可用例１．假如例２有６个元．这６个元可以写成6.3循环●先看一个例子这样，将变成.例３我们看，这里例４的就不是一个循环置换．我们再用归纳法．II.假定对于最多变动个元的定理是对的．现在我们看一个变动个元的．我们任意取一个被变动的元，从出发我们找的象，的象，这样找下去，直到我们第一次找到一个为止，这个的象不再是一个新的元，而是我们已经得到过的一个元:因为我们一共只有个元，这样的是一定存在的．我们说．因为已经是的象，不能再是的象．这样，我们得到因为只使个元变动，，假如，
本身已经是一个循环置换，我们用不着再证明
什么．假如，由公式（1），但只使得个元变动，照归纳法的假定，可以写成不相连的循环置换的乘积：

在这些里不会出现.不然的话,

那么同不会再在其余的中出现,也必使
但我们知道,使得不动,这是一个矛盾.这样,是不相连的循环置换的乘积:例５的全体元用循环置换的方法写出来是6.4补充结论作业
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