第三章 晶格振动与晶体热学性质1.doc

第三章晶体热振动与晶体的热学性质

3.1一维单原子链3.1.1一维原子间相互作用势图3-1-1一维单原子晶格考虑由N个相同的原子组成的一维晶格，如图3-1-1所示，相邻原子间的平衡距离为a，第j原子的平衡位置用x0j来表示，它偏离平衡位置的位移用uj来表示，第j原子的瞬时位置就可以表示为：
(3-1-1)
原子间的相互作用势能设为，如果只考虑晶体中原子间的二体相互作用，则晶体总的相互作用能可表示为：

(3-1-2)
式中是i、j原子的相对距离，是i，j两原子的相对位移，在温度不太高时，原子在平衡位置附近作微振动，相邻原子的相对位移要比其平衡距离小得多，可将展开为：
(3-1-3)
于是有：
(3-1-4)
式中第一项是所有原子处于平衡位置上时的总相互作用能，用U0来表示，是U的极小值，
(3-1-5)
第二项是的线性项，它的系数为：，是所有其它原子作用在i原子的合力的负值，当所有原子处在平衡位置上时，晶体中任一原子所受到的净作用力应为零，所以在式（3-1-4）中不存在位移的线性项。因此，
(3-1-6)
式中：(3-1-7)
称为力常数。.3.1.2简谐近似下运动方程若在U的展开式中，忽略u的高次项而仅保留到u的平方项，即有(3-1-8)这种近似称为简谐近似。由此可以得出第n原子的运动方程式为：(3-1-9)式中m为原子的质量，如果只考虑最近邻的相互作用，在上式中只保留i=n+1和i=n-1两项，且令，则可得到形式上很简单的运动方程式：(3-1-10)3.1.3周期性边界条件
对于无限大的晶体，每个原子都有形如式（3-1-10）的运动方程，但实际上晶体是有限大的，处在表面上（对一维晶格来说是两端上）的原子所受到的作用与内部原子不同，其运动方程式应有不同，使问题变复杂。为解决这一问题，需要引入边界条件，常用的边界条件是所谓的周期性边界条件，是玻恩-卡曼提出的，又称为玻恩-卡曼边界条件。
设想在有限晶体之外还有无穷多个完全相同的晶体，互相平行堆积充满整个空间，在各相同的晶体块内的原子的运动情况应当是相同的，对于一维晶格，这个条件表示为：
(3-1-11)
这相当于一维原子链首尾相接形成一个环状晶格(如图3-1-2所示)，这时每个原子都是等价的，都满足形式相同的运动方程。这样做虽然没有考虑表面原子的特殊性，但由于实际晶体中原子数目N很大，表面原子数目所占比例很小，不会对晶体的整体性质产生明显地影响。图3-1-2玻恩-卡曼边界条件
3.1.4格波
运动方程式（3-1-10）是很容易还应解的。
设试探解为(3-1-12)
式中A为振幅，ω为圆频率，q为波矢，与波长λ的关系为：q=2π/λ,naq为第n个原子振动的位相，将（3-1-12）代入（3-1-10），容易求得ω与q的关系为：
(3-1-13)
对于这个结果，作以下分析说明：（1）由式（3-1-12）不难看出，当na-ma=lλ，即第n和第m个原子的位移相等，所以式（3-1-12）所描述的原子围绕平衡位置的振动是以行波的形式在晶体中传播的，是晶体中原子的一种集体运动形式，这种行波称为格波。
（2）格波的频率与波矢的关系式（3-1-13）称为色散关系，如图3-1-3所示。ω是q的周期函数，周期性为2π/a，因此可以把q限制在的范围内，这恰好是第一布里渊区的范围，其他区域的情况只需把q平移某个倒格矢G=2πl/a（l为整数）而得到。图3-1-3一维单原子晶格振动的色散关系（3）由色散关系可得到格波的相速度和群速度为：相速度：

群速度：(3-1-14)

由此可以看到，由于原子的不连续性，格波的相速度不再是常数。但当q→0时，为一常数。这是因为当波长很大时，一个波长范围含若干原子，相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近
于连续媒质中的弹性波。对于格波的群速度来说，由于原子的不连续性，格波的群速度也不等于其相速度，但当q→0时，，体现出弹性波的特征；当，恰好落在布里渊区边界上时，vg=0（此时相速度为），这表明波矢位于第一布里渊区边界时，格波不能在晶体中传播，实际上此时它是一种驻波。因为此时相邻原子的振动位相相反，，此时的波长为2a。
（4）原子的位移un应满足周期性边界条件，由式（3-1-11）要求：
eiNaq=1(3-1-15)
由上式可得到qNa=2πl，l为任意整数。所以，波矢q的取值不是任意的，只能是
(3-1-16)
即满足边界条件的波矢只能取一些分立的值。分立波矢的间距为倒格矢长度的1/N，即

而且，由于ω(q)的周期性已把q限制在第一布里渊区内，所以l的取值也限制在
(3-1-17)
范围内，即共有N个不同的值，对应于N个独立的格波，或者说有N个独立的振动模式。由于第一布里渊区内每个分立波矢代表一个独立的状态，第一布里渊区的波矢能给出全部的独