晶格振动与晶体热学性质.docx

第三章晶格振动与晶体热学性质
习题
原子质量为m,间距为a,恢复力常数为的一维简单晶格，频率为的格波，求
该波的总能量，
每个原子的时间平均总能量。
[解答]
格波的总能量为各原子能量的总和。其中第n个原子的动能为

而该原子与第n+1个原子之间的势能为

若只为考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为

将
代入上式得

设T为原子振动周期，利用

可得
=AN+.
式中N为原子总数。
每个原子的时间平均总能量为

再利用色散关系
便得到每个原子的时间平均能量

一维复式格子，原子质量都为m，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同,力常数不同,分别为和，晶格常数为a,求原子的运动方程及色散关系.
[解答]

图3.2一维双原子分子链

此题实际是一双原子分子链.设相邻分子间两原子的力常数为，间距为b;一个分子内两原子力常数;晶格常数为a;第n-1,n,n+1,n+2个原子的位移分别为.第n-1与第n+1个原子属于同一原子,第n与n+1第个原子属于同一个原子,于是第n和第n+1个原子受的力分别为
，
.
其运动方程分别为

设格波的解分别为

.
代入运动方程，得

.
整理得

由于A和B不可能同时为零。因此其系数行列式必定为零。即
.
解上式可得

由上式知，存在两种独立的格波，声学格波的色散关系为
,
光学格波的色散关系为
.
3．由正负离子构成的一维原子链，离子间距为a,质量都为m,电荷交替变化，即第n个离子的电荷.原子间的互作用势是两种作用势之和，其一，近邻原子的短程作用,力系数为，其二,所有离子间的库仑作用.证明
库仑力对力常数的贡献为
2.
色散关系
,
其中
.
时,格波为软模。
[解答]
设离子链沿水平方向，第n个离子右端的第n+p个离子与第n个离子间的库仑力为
上式右端加一负号，是我们规定坐标的正方向，指向右端，考虑到,可将上式展成级数,取一级近似得

第n个离子左端的第n-p个离子与第n个离子间的库仑力为

取一级近似得。
第个离子和第个离子对第个离子间的库仑作用合力为

可见库仑力对常数的贡献为

第个离子的运动方程为

设格波解

,
则由离子的运动方程得

令，可得
当，有

记
则有

由此知，当时，由于格波的频率，因此说明此振动模式对应的恢复力系数，相当于弹簧振子系统的弹簧丧失了弹性.所以称的振动模式为软模.
4.证明一维单原子链的运动方程,在长波近似下,可以化成弹性波方程

[解答]
根据《固体物理教程》(3.4)式,第个原子的运动方程为

因为
所以第n个原子的运动方程化为
.
在长波近似下:
,
运动方程又化为

在长波近似下,当为有限整数时,

上式说明,在长波近似下,邻近(在半波长范围内)的若干原子以相同的振幅,相同的位相做集体运动,因此(1)式可统一写成
.
第二章中固体弹性理论所说的宏观的质点运动,正是由这些原子的整体的运动所构成,这些原子偏离子平衡位置的位移,即是宏观上的质点位移u,从宏观上看,原子的位置可视为准连续的,原子的分离可视为连续坐标x,即

于是
,
(2)式化成
,
其中,是用微观参数表示的弹性波的波速.
5.设有一长度为L的一价正负离子构成的一维晶格,正负离子间距为,正负离子的质量分别为和,近邻两离子的互作用势为,
式中e为电子电荷,b和n为参量常数,求
参数b与e,n及的关系,
恢复力系数,
时的光学波的频率,
长声学波的速度,
假设光学支格波为一常数,且对光学支采用爱因斯坦近似,对声学波采用德拜近似，求晶格热容。
[解答]
若只计及近邻离子的互作用,平衡时,近邻两离子的互作用势以取极小值,即要求.
由此得到
.
恢复力系数
.
光学波频率的一般表达式[参见《固体物理教程》(3.21)式]
.
对于本题,,,,.所以的光学波频率
.
由《固体物理教程》(3.25)式可知,长声学波的频率
.
对于本题。
长声学波的速度
。
按照爱因斯坦模型,光学波的热振动能
.
光学波对热容的贡献
,
其中是爱因斯坦温度,其定义为
按照德拜模型，声学波的模式密度
.
电学波的热振动能.
其中,,
和分别为德拜频率和德拜温度，德拜频率可由下式

求得
.
声学波对热容的贡献
.

在高温情况下,,上式化成

.
先求出高温时的,再求更容易.
在甚低温条件下,,

[解答]
设原子的质量为,第个原子对平衡位置的位移为第和第个原子对平衡位置的位移分别为与(m=1,2,3…)，则第和第个原子对第个原子的作用力为
.
第个原子受力的总合为
.
因此第个原子的运动方程为.
将格波的试解
代入运动方程得

.
由此得格波的色散关系为
.
7．采用德拜模型把晶体中的格波看成弹性波,在三维晶体内任意传播方向可存在三支弹性波（两支横波，一支纵波），设波矢为q的第i支弹性波的波动方程为