线性方程组6n 维向量空间.ppt

第六节:n维向量空间我们将数域F上全体n维向量所成集合记为Fn,则Fn中有两个普遍可行的运算(向量的加法与数乘)运算结果唯一且封闭,适合八条运算性质。将它们
视为一个整体,称为数域F上的一个n维向量空间,仍记为Fn。定义：设M是n维向量空间Fn中一部分向量所组
成的集合,若M对n维向量的加法与数乘封
闭,则称M是Fn的一个线性子空间,简称子
空间。见书上P101,P82。请你再举出几个Fn的子空间。*显然dimFn=n,基本向量组为其一组基。=(k1+1)１+(k2+2)2+...+(ks+s)s
M,定义:称例1中的子空间M为由向量组1,2...s
生成的子空间,记为M=L(1,2...s),解：设dim(M)=3,在第二章我们介绍的n维向量空间Fn中的向量是没有长度,夹角,垂直这些概念的,本节我们将在实n维向量空间Rn中引入上述概念,并介绍欧空间Rn及Rn的标准正交基及求法。定义了内积的实n维向量空间Rn称为欧空间，仍然记为Rn。称为向量内积的
矩阵表示！！其中1称为对称性，2，3合称为线性性且可记为
或
=；
4称为正定性。③正交向量组*单个非零向量也称为正交向量组！16i=1,2...s。例3.求与向量12
均正交的所有向量。定义：设12n为Rn的一组基，
ⅰ.若ij0，i≠j,i,j=1,2...n;
ii≠0，i=1,2...n。
则称12n为Rn的一组正交基。
ⅱ.若ij＝0，i≠j,i,j=1,2...n;
ii＝1，i=1,2...n。
则称12n为Rn的一组标准正交基。2)施密特正交化方法.从一个线性无关的
向量组出发，构造一个正交向量组的方法。显然有12与12等价。22图式如下：2425定理中由线性无关向量组求正交向量组的方法称为——施密特正交化法。2728由上面的讨论，欧空间Rn中任意线性无关的向量组,用施密特正交化法均可得一等价的正交(单位)向量组，因此，欧空间Rn中的(标准)正交基一定存在！且不唯一！本节应掌握以下几点；
内积与内积的性质，正交向量组及性质。
用施密特正交化法将线性无关的向量组化
为(单位)正交向量组。
欧空间Rn标准正交基及其求法。课外阅读例1.在欧空间Rn中,三角不等式成立.
即对任意的Rn,有|+|||+||.