线性方程组2n维向量.ppt

第二节：n维向量.向量一般用小写希腊字母表示。前者称为n维行向量,后者称为n维列向量。
向量是数学中的一个极为重要的概念,在数学的各分支及其它学科中，向量的概念及有关性质都有广泛的应用。例1.线性方程组向量运算:
1.加法：由向量的加法与负向量的定义，还可以定义
向量的减法运算，加法适合的4条运算性质：定理：对数k与向量，则k=0
的充分必要条件是k=0或=0。1.线性表示。例4：m个方程n个未知量的线性方程组的系数矩阵A的第j列与⑴的常数项均可由m维的向量来表示，(也可取増广矩阵的第j列)称⑵为线性方程组⑴的向量表示。例6：设向量组(理由同前)因此，我们引入下面的概念：(第二个线性关系)由于齐次线性方程组要么只有零解，要么必有非零解，两者必有一个成立。所以，一个向量组要么线性无关，要么线性相关，两者必有一个成立。对齐次线性方程组⑴应用矩阵消元法，由阶梯形矩阵⑵可知齐次线性方程组⑴
有非零解，即向量组线性相关。证明：这是因为相应的齐次线性方程组中
方程个数<未知量个数，
固齐次线性方程组必有非零解,从而向量组
必线性相关。线性无关的
条件是？回忆向量组线性相关的定义，
向量组是否线性相关的充分必要
条件是齐次线性方程组
是否有非零解。*定义隐含了只要向量组1，2s线性相
关，就一定存在不全为的数k1，k2ks使得
向量等式k11+k22++kss=0成立求解齐次线性方程组⑴，得⑴只有零解，
即所以向量组求解齐次线性方程组⑵,得⑵有非零解,即存在
不全为零的数1，2，3，4使⑴式成立，所以向量组线性相关。例6.单个非零的n维向量线性无关。由本例还可以得到：想一想，这是为什么？你能否自己给出证明。即可由其余的向量
线性表示。且有：成立。
所以向量组线性相关。3132小结：主要掌握以下两点：1.一个例子.给定线性方程组对线性方程组⑴来说，第3个方程可以由
第1个方程加2倍的第2个方程得到，
即：第3个方程是多余的方程。本结论可作为定理用！2).线性表示
向量组12s线性相关其中至少有
一个向量可由其余向量线性表示。
向量组12s线性无关其中每一个
向量都不能由其余向量线性表示。4).行列式(是s个s维向量且知道向量的分量)
向量组12s线性相关
以12s的分量为列(或行）
所得s阶行列式=0。
向量组12s线性无关
以12s的分量为列(或行）
所得s阶行列式‡0。