线性变换和矩阵PPT课件.pptx

7.3.1线性变换的矩阵(jǔzhèn)设由此可知:
取定F上n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换σ，都有唯一确定的n阶矩阵(jǔzhèn)A与之对应．这样一来，从L(V)到Mn(F)必然存在着一个对应关系----映射，不妨记为
7.3.2坐标(zuòbiāo)变换因为(yīnwèi)σ是线性变换，所以最后，等式表明，的坐标所组成的列是如果V中向量ξ关于这个基的坐标是，而σ(ξ)的坐标是，例１/例２在空间内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量作为的基.令σ是将的每一向量旋转角θ的一个旋转.σ是的一个线性变换.我们有例3令Ｖ是数域Ｆ上一个n维向量空间，
是Ｖ的一个位似，那么关于Ｖ任意基的矩阵(jǔzhèn)是

特别地，Ｖ的单位变换关于任意基的矩阵(jǔzhèn)是单位矩
阵；零变换关于任意基的矩阵(jǔzhèn)是零矩阵(jǔzhèn)．7.3.3矩阵(jǔzhèn)唯一确定线性变换我们证明，σ是V的一个线性变换。设是F上任意一个n阶矩阵。令设我们有推论7.3.4设数域F上n维向量空间V的一个线性变换σ关于V的一个取定的基的矩阵是A，那么σ可逆必要且只要A可逆，并且关于这个基的矩阵就是.注意到（5），可以看出同理所以σ有逆，而□研究一个抽象的线性变换σ,就可以转化为研究一个具体的矩阵.也就是(jiùshì)说,线性变换就是(jiùshì)矩阵.以后,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵.引言：
一般地线性变换关于(guānyú)基的矩阵与基的选择有关,同一线性变换在V中的两个不同基下的矩阵一般不同.
为了利用矩阵研究线性变换，显然需要讨论线性变换在不同基下的矩阵间的关系。引例(yǐnlì)：设，且关于基{，}的矩阵为

求关于基的矩阵．

分析:本题不能直接用定义做,因的对应关系不清楚,
由定义是求B使B，
又由题知，而与
间的关系易得，因而可通过上述已知转化一下。解：设B，
因，所以(suǒyǐ)

其中.
于是

设线性变换σ关于基的矩阵是A,σ关于基的矩阵是B,由基到基的过渡矩阵T,于是有:(1)定义：设A，B是数域F上两个n阶矩阵.如果存在F上一个n阶可逆矩阵T使等式成立，那么就说B与A相似，记作：.3.传递性：如果容易(róngyì)证明问题：Th7.3.5说明，关于V的不同基的矩阵是相似的；且所有彼此相似的矩阵可看成同一线性变换在不同基下的矩阵。这自然会提出问题：满足什么条件下，可以并且如何(rúhé)选取V的基，使线性变换关于这个基的矩阵尽可能简单？或曰：方阵满足什么条件时，如何(rúhé)在彼此相似的矩阵中选取一个方阵，使得它最简单？这是因为简单方阵研究起来方便一些。后几节讨论，什么样的方阵与对角方阵相似，进而寻找可逆方T，对给定的方阵A，使得为对角形。感谢您的观看(guānkàn)！