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线性变换和矩阵.pptx

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会计学一、线性变换关于基的矩阵和坐标令 （2） （3） 这里就是关于基 的坐标。令 则阶矩阵叫做线性变换关于基 的矩阵。矩阵的第列的元素 就是关于基的坐标。 这样，取定数域上维向量空间 的一个基后，对于的每一个线性变换，有唯一确定的上的阶矩阵与之对应。例2、令是数域上的一个维向量空间，线性变换是的一个位似， 求关于任意基的矩阵。例3、设的线性变换定义如下： 。 求：（1）关于标准基的矩阵； （2）关于基的 矩阵。例4、设，，求下面 的线性变换关于基 ，，，的矩阵：（1）；（2）。 2、线性变换关于基的坐标因为是线性变换，所以 （4） 将（3）代入（4），得： 上式表明，关于基的坐标所成的列是 。 定理7.3.1：令是数域上一个 维的向量空间，是的一个线性变换，而关于的一个基的矩阵是 。 如果中向量关于这个基的坐标是 ，而的坐标是，那么 。 例5、设是数域上的一个二维向量空间，是的一个基。线性变换 关于基的矩阵为，而 中一向量关于基的坐标为。 求关于这个基的坐标。3、一个线性变换关于两个基的矩阵的关系例6、设是数域上的一个二维向量空间，线性变换关于的一个基的矩阵是，而基 到的过渡矩阵为。求 关于基的矩阵。例7、设是的 一个基，是的线性变换，且 。 求：（1）在标准基下的矩阵； （2）在基下的矩阵。二、矩阵的相似（2）对称性：若，则。推广：（1） （2）定理7.3.3：设是数域上一个 维向量空间，是的一个基。对于的每一个线性变换，令 关于基的矩阵与它对应。则 （1）这样建立的映射是 一个双射； （2）若，而，那么。推论：设数域上维空间的一个线性变换关于的一个取定的基的矩阵是，那么可逆可逆，且关于这个基的矩阵是。补充作业： 已知线性变换关于基 的矩阵为 。 求关于标准基的矩阵。