广东省江门市数学高三上学期自测试卷及答案指导.docx

广东省江门市数学高三上学期自测试卷及答案指导
一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、若函数fx=ax3+bx2+cx+d（其中a≠0）的图像在x轴上只有一个交点，则下列哪个条件是正确的？
A、a>0且b2−3ac=0
B、a<0且b2−3ac=0
C、a>0且b2−3ac<0
D、a<0且b2−3ac>0
答案：A
解析：由于函数fx=ax3+bx2+cx+d的图像在x轴上只有一个交点，说明函数在x轴上的根只有一个，即fx=0有唯一实数解。根据韦达定理，这个解必须是重根，因此b2−3ac=0。另外，由于a≠0，函数的图像是三次函数，而三次函数的图像只能有一个拐点。当a>0时，图像向上开口，只有一个拐点，且这个拐点在x轴上方；当a<0时，图像向下开口，只有一个拐点，这个拐点在x轴下方。因此，为了使函数图像在x轴上只有一个交点，需要a>0。所以，正确答案是A。
2、若函数fx=ax3+bx2+cx+d在x=1处有极值，则a+b+c+d的值是：
A.1
B.0
C.−1
D.2
答案：B
解析：由于fx在x=1处有极值，那么f′1=0。对fx求导得到f′x=3ax2+2bx+c。将x=1代入f′x得到3a+2b+c=0。但是题目没有提供a,b,c,d的具体值，所以无法确定a+b+c+d的具体数值，但是根据选项可知，只有当a+b+c+d=0时，才能保证3a+2b+c=0。因此，正确答案为B。
3、若函数fx=2x3−3x2+4的图像与x轴相切，那么切点的横坐标为：
A.-1
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：首先，函数与x轴相切意味着切点处的函数值和导数值都为0。计算函数的导数：f′x=6x2−6x。设切点横坐标为x0，那么有：
fx0=2x03−3x02+4=0
f′x0=6x02−6x0=0
从f′x0=0解得x0=0或x0=1。将x0代入fx0=0检验：
当x0=0，f0=4≠0，所以x0=0不是解。
当x0=1，f1=213−312+4=1≠0，所以x0=1也不是解。
因此，需要重新检查导数f′x的求解。实际上，f′x=6xx−1在x=0和x=1处均不为0，但我们需要找到导数为0的解，并确保对应的函数值也为0。
我们忽略了fx=2x3−3x2+4的根为x=2。当x0=2时，f2=223−322+4=0，且f′2=622−1=12≠0。因此，切点的横坐标是2，正确答案为C。
4、若函数fx=2x−1x+1的图像关于点1,0对称，则实数a的值为：
A.a=2
B.a=−1
C.a=1
D.a=0
答案：A
解析：由于函数fx=2x−1x+1的图像关于点1,0对称，则对于任意x，有f1+x=−f1−x。将fx代入得：
f1+x=21+x−11+x+1=2x+1x+2
f1−x=21−x−11−x+1=2−2x−12−x=1−2x2−x
因此，要使f1+x=−f1−x，则有：
2x+1x+2=−1−2x2−x
交叉相乘后得：
2x+12−x=−x+21−2x
化简得：
4x−2x2+2−x=−x+2x2−2x
4x2+4x−2=0
2x2+2x−1=0
使用求根公式解得：
x=−2±4+84=−2±124=−2±234=−1±32
由于题目中要求实数a的值，因此只需取实数解，即：
a=−1+32
所以，a=2。因此，选项A正确。
5、已知函数fx=x3−3x+1，若fx在区间−1,1上存在极值，则fx的导数f′x在该区间上的零点个数为：
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
答案：A
解析：首先，我们需要求出函数fx的导数f′x。对fx求导得：
f′x=3x2−3
接下来，要找出f′x在区间−1,1上的零点。令f′x=0，得：
3x2−3=0x2=1x=±1
由于我们只关心区间−1,1上的零点，因此x=1和x=−1都在该区间内。因此，f′x在区间−1,1上有两个零点。然而，题目问的是极值的个数，而不是零点的个数。由于f′x在x=−1和x=1处变号，这两个点是fx的极值点。因此，fx在区间−1,1上存在两个极值点。故正确答案是A。
6、已知函数fx=x3−3x+1，则函数的极值点个数是：
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：首先对函数fx求导，得到f′x=3x2−3。令f′x=0，解得x=−1或x=1。接下来对f′x求导，得到f″x=6x。当x=−1时，f″−1=−6<0，说明x=−1是fx的极大值点；当x=1时，f″1=6>0，说明x=1是fx的极小值点。因此，函数fx有两个极值点，故选C。
7、若函数fx=ax3+bx2+cx+d（其中a≠0）在x=1处取得极小值，且f1=3，f2=10，f3=27，则f0的值为（）
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：B
解析：首先，由于fx在x=1处取得极