力矩和角动量定理.doc

定义1向量的向量积
设a和b为两个向量，a与b之间的夹角为θ（0≤θ≤π），则存在向量c，满足
（1）向量c的模|c|=|a||b|sinθ；
（2）向量c与向量a和b分别垂直，c的方向与a和b的方向按照由a转向b的右手螺旋法则确定（图1.1）。
这样规定的向量c定义为向量a和b的向量积（也称叉积或外积），记为
c=a×b
注意，对于两个向量a和b，与a和b的数量积a∙b不同，a和b的向量积a×b也是一个向量，如果向量a和b不平行，则a×b与向量a和b构成的平面垂直，即a×b与a和b都垂直。
向量a和b的向量积a×b满足以下运算性质：
（1）反交换律：a×b=−b×a；图1.1向量的向量积
（2）分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；
（3）数乘结合律：(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)（λ为任意实数）。
根据向量积的定义和运算性质，容易得到（这里0表示零向量）：
（1）a×a=0；
（2）设a和b为两个非零向量，则有a×b=0⇔a∥b。
设i，j，k为空间直角坐标系中的基向量（单位向量），则有
（1）i∙i=j∙j=k∙k=1，i∙j=j∙k=k∙i=0；
（2）i×i=j×j=k×k=0；
（3）i×j=k，j×k=i，k×i=j，图1.2基向量之间的关系
j×i=−k，k×j=−i，i×k=−j。
向量积可以根据运算性质计算，设向量a和b在空间直角坐标系中的形式分别为a=axi+ayj+azk=(ax，ay，az)，b=bxi+byj+bzk=(bx，by，bz)，则（运算过程略）
a×b=(axi+ayj+azk)×(bxi+byj+bzk)
=(aybz−azby)i+(azbx−axbz)j+(axby−aybx)k
=(aybz−azby，azbx−axbz，axby−aybx)
向量积也可以用三阶行列式展开成二阶行列式进行形式上的计算：
a×b=eq\b\bc\|(\a(ijk,axayaz,bxbybz))=eq\b\bc\|(\a(ayaz,bybz))i−eq\b\bc\|(\a(axbz,axbz))j+eq\b\bc\|(\a(axay,bxby))k
=(aybz−azby)i−(axbz−azbx)j+(axby−aybx)k
计算时可按第一行展开，先去掉三阶行列式中基向量所在的行和列的元素，把余下的二阶行列式（称为余子式）的元素按对角线的乘积相减，然后把结果写成向量形式。
若三个向量a、b、c分别为a=(ax，ay，az)，b=(bx，by，bz)，c=(cx，cy，cz)，则它们的混合积可以按下式进行计算：
(a×b)∙c=eq\b\bc\|(\a(axayaz,bxbybz,cxcycz))=eq\b\bc\|(\a(ayaz,bybz))cx−eq\b\bc\|(\a(axbz,axbz))cy+eq\b\bc\|(\a(axay,bxby))cz
计算方法和向量积相似，把三阶行列式化为二阶行列式，只需把基向量i、j、k换成向量c的分量cx、cy、cz即可。
定义2力矩
在确定的参考系中，设有力F和参考点O，力的作用点A相对于参考点O的位移向量为r（由O指向A的向量），则力F对参考点O的力矩M定义为（图2.1）
M=r×F
根据上述定义，力矩M是力F的作用点相对于参考点的位移r与力F的向量积，因此力矩也是一个向量。
上述定义是力矩的一般定义，中学力学中对一点（或轴）的力矩M定义为力F的大小F与位移r垂直于力F的分量d（称为力臂）的乘积，即
M=Fd图2.1对参考点的力矩
这个力矩实际上是在一般定义中的力矩的一个分量（另一个分量实际上等于零）。
定义3角动量
在惯性参考系中，设质量为m的质点A的运动速度为v，动量为p=mv，质点A相对于参考点O的位移向量为r（由O指向A的向量），则质点A相对于参考点O的动量矩L定义质点A的动量p对参考点O的矩，即（图2.2）
L=r×p
动量矩又称为角动量，这是比动量矩更通的名称，角动量也经常用字母J表示。根据上述定义，角动量L是质点相对于参考点的位移r与质点的动量p的向量积，因此角动量是向量。
按照定义，角动量与参考点的位置有关，选取不同位置的参考点，角动量的大小和方向也将不同。
如果有外力作用于质点，质点运动速度会发生变化，动量图2.2对参考点的力矩
也会发生变化，于是质点相对于参考点的角动量也会改变，即
角动量定理
在惯性参考系中，质点相对于参考点的角动量L对于时间t的变化率等于作用于质点上的外力F相对于参考点的力矩M，即
eq\f(dL,dt)=M
证明：按照角动量的定义L=r×p和向量积微分法则d(a×b)=da×b+a×db，可以得到角动量L对时间t的变化率为
eq\f(dL,dt)