时域离散信号和系统的频域分析.ppt

第二章Z变换
与离散时间系统的频域分析主要内容系统
分析
方法1、Z变换单边z变换只是对单边序列（n≥0部分）进行变换的z变换，其定义为：
一般，序列的Z变换并不一定对任何z值都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此z平面的收敛域应满足

因为对于实数序列，

因此，|z|值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为：

Z变换的收敛域例：例：可知，如果序列的Z变换存在，则要求变换式中的z值只能在某个范围内变化，这个范围定义为Z变换的收敛域。而且，从例子还可以看到，Z变换的收敛域有三个特征：这里主要讨论序列特性对ROC的影响（分为四种序列）：如果对n1，n2加以一定的限制，如n1≥0或n2≤0，则根据条件|z|-n<∞（n1≤n≤n2），收敛域可进一步扩大为包括0点或∞点的半开域：例：
例:矩形序列x(n)=RN(n)，求其Z变换，并确定收敛域。2）右边序列3）左边序列4）双边序列不存在Z变换式的情况：
例如，序列Z变换小结1.3z变换的性质5从图中也可以看出，对于双边变换，求和在-∞和∞范围内进行，移位后没有丢失原序列的信息；而对于单边Z变换，求和在0和∞范围内进行，移位后的序列较原序列的长度有所增减。※单边Z变换的移位：证明(2)式：（3）序列乘上ak（Z域尺度变换）（4）时域卷积定理(5)初值定理(6)终值定理（单边Z变换）例：已知序列x[n]的z变换为X(z)，求x[n]之终值。(2)同样，利用终值定理可求得(3)此例X(z)有两个单阶极点，其中一个在单位园的z=1上，而另一个在单位园内的z=1/2上，利用终值定理可以求得1.4常用序列的z变换例：2、逆Z变换例：（2）根据收敛域，知x(k)为非因果序列，展开时，其分子分母按z的升幂排列，即展开为Z的幂级数。非闭合解2）部分分式法分式展开一般有两种情况：
1）对X(z)的单极点进行展开；
2）是对X(z)的重极点进行展开。（2）如果X(z)中有高阶极点，例如设zi是其k阶重极点，此时，对应于k阶重极点zi的部分分式应修正为<L因此：3）留数法在计算留数时要注意以下几个问题：例：例(2)当n=1时，X(z)zn-1除在z=0.5和z=1处的两个一阶极点不变以外，在z=0处又出现一个一阶极点，该极点之留数为(3)当n=0时，X(z)zn-1的极点和n=1时的不同之处仅在于在z=0的极点阶次发生了变化，由原来的一阶极点变成了一个二阶极点。因此，该极点之留数也要发生相应变化，求得此二阶极点之留数为(4)当n＜0时，X(z)zn-1在z=0处的极点阶次将继续发生变化，该极点的留数也将随之而变。可以求得，此时X(z)zn-1的各个极点的留数之和将恒为零，这就是说，x(n)是一个因果序列，在n＜0时等于0。这个结论也可以从两个方面定性判断出来：
首先，从收敛域看，X(z)的收敛域为|z|＞1，包括∞点，因此X(z)的幂级数中不可能含有z的正幂次项，这也就是说，n＜0时，x(n)=0。
其次，由于X(z)的分子、分母中z的最高阶次相同，加之|z|＞1表明x(n)是右边序列，这样将X(z)的分子除以分母时不可能出现z的正幂次项，这也说明x(n)是一个因果序列，在n＜0时恒等于0。(z-1x(n-1))。注意：这三种方法各有千秋，但都有一个共同点，即都和X(z)的收敛域密切相关，这和前面所说的在给出X(z)时必须同时给出其收敛域是相一致的。在求逆z变换时，如果没有给定收敛域，则将得不到唯一确定的解。3、Z域分析，其他同前。2）系统的Z域框图例：LSI系统的时域框图如下，已知x(k)=u(k)，求系统的单位抽样响应h(k)和零状态响应yf(k);若y(-1)=0,y(-2)=1/2,求零输入响应yx(k)。(2)4、序列的付里叶变换(FT或DTFT)
值得指出：

（1）由于，所以是以2π为周期的周期函数。因此,积分区间可以是（02π）或任意一个2π周期。

（2）FT

正是周期函数的付氏级数展开，而x(n)是付氏级数的系数。这一概念在以后滤波器设计中有用。FT性质：3）时域卷积FT与Z变换的关系5、系统函数（1）它是单位脉冲响应的z变换。所以可以用单位脉冲响应的z变换来描述线性时不变离散系统。
（2）单位圆上的系统函数就是系统的频率响应

可以证明，它是单位脉冲响应h(n)的FT（DTFT）。
整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。
用极点和零点表示系统函数的优点是，它提供了一种有效的求系统频率响应的几何方法。于是(1)当单位圆上的ejω点在极点dj附近时，分母向量最短，出现极小值，频响在这附近可能出现峰值，且极点dj越靠近单位圆，极小值越小，频响出现的峰值越尖锐，当dj处在单位圆上时，极小