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时域离散信号和系统的频域分析
信号与系统的分析方法有两种：时域分析方法和频域分析方法。
在连续时间信号与系统中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统用微分方程描述，其频域分析方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换。在时域离散信号与系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，系统则用差分方程描述，频域分析方法是Z变换和序列傅立叶变换法。
Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。因此，对求解离散时间系统而言，Z变换是一个极重要的数学工具。

2．2序列的傅立叶变换（离散时间傅立叶变换）
一、序列傅立叶变换：
正变换：DTFT[x(n)]=（2.2.1）
反变换：DTFT-1
式（2.2.1）级数收敛条件为
||=(2.2.2)
上式称为x(n)绝对可和。这也是DTFT存在的充分必要条件。当遇到一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其DTFT可用冲激函数的形式表示出来。
二、序列傅立叶变换的基本性质：
1、DTFT的周期性
，是频率的周期函数，周期为2。
∵=。

问题1：设x(n)=RN(n)，求x(n)的DTFT。
==
==
设N为4，画出幅度与相位曲线。

2、线性
设=DTFT[x1(n)]，=DTFT[x2(n)]，
则：DTFT[ax1(n)+bx2(n)]
==a+b

3、序列的移位和频移
设=DTFT[x(n)]，

则：DTFT[x(n-n0)]=
=

DTFT[x(n)]=
==

4、DTFT的对称性
共轭对称序列的定义：设序列满足下式

则称为共轭对称序列。
共轭对称序列的性质：
共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数
证明：=+j（实部加虚部）
∵
∴+j=-j
∴=（偶函数）
∴=－（奇函数）
一般情况下，共轭对称序列用表示：

共轭反对称序列的定义：设序列满足下式

则称为共轭反对称序列。
共轭反对称序列的性质：
共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数
证明：=+j（实部加虚部）
∵
∴+j=+j
∴=（奇函数）
∴=（偶函数）
一般情况下，用来表示

一个序列可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示。即：
x(n)=+(2.2.16)

问题1：=？
=+
=－
∴=－(2.2.17)

=(+)
=(－)

对于频域函数，也可分解成共轭对称分量和共轭反对称分量之和：

式中，是共轭对称分量，是共轭反对称分量，它们满足：
=，=
且：

：共轭对称分量，它的实部是偶函数，虚部是奇函数；：共轭反对称分量，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。

下面研究DTFT的对称性，按下面两部分进行分析
a）将序列x(n)分成实部与虚部，即：
=+j（、都是实数序列）
则：

式中：=DTFT[]=，
=DTFT[j]=j。
结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应于中的，虚部和j一起对应于中的。

b）将序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分，x(n)=+
∵=(+)
=(－)
将上面两式分别进行DTFT，得到：
DTFT[]=(+)=Re[]=
DTFT[]=()=jIm[]=j

∴=+j
x(n)=+
结论：序列的共轭对称部分对应于的实部，而序列的共轭反对称部分对应于的虚部加j。

应用：利用DTFT的对称性讨论当h(n)是实序列时，其DTFT的特性。

∵h(n)是实序列，所以它所对应的DTFT：=，具有共轭对称性，的实部偶对称，虚部奇对称。

5、时域卷积定理
设y(n)=x(n)h(n)
则：=×=(2.2.32)

证明：y(n)=x(n)h(n)=
=DTFT[y(n)]
==
=
=
=

6、频域卷积定理
设y(n)=x(n)h(n)
则==
=

证明：==
=
=
=
=

7、Parseval(帕斯维尔)（帕塞瓦尔）定理
=(2.2.34)

证明：
==
=
=
=
2．5Z变换的定义与收敛域
一、Z变换的定义
若序列为x(n)，则幂级数
（2.5.1）
称为序列x(n)的Z变换，也称为双边Z变换。式中z为复变量，它所在的复平面称为z平面。亦可将x(n)的Z变换表示为
ZT[x(n)]=X(z)
二、Z变换的收敛域
我们知道，是一幂级数，只有收敛时Z变换才有意义。X(z)收敛的条件是：
(2.5.3)
X(z)能够收敛的z取值集合称为X(z)的收敛域。
一般收敛域用环状域表示。即：

∴Z变换的公式
（2.5.1）

常见的Z变换是一个有理函数，表示为：

分子多项式的根是的零点，分母多项式的根是的极点。在极点处Z变换不存在。因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。

1、有限长序列Z变换的收敛域

有限长