概率论与数理统计第3讲.ppt

概率论与数理统计
第三讲1.2.4几何概率模型II.几何概率模型中事件概率求法下面我们介绍一个具体的几何概型中事件概率的计算。知若在直线上投点，记事件A={点落入区域A中}，则有例：（会面问题）甲、乙两人相约在早上8点到9点之间在某地会面，先到者等候另一个人20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达，试计算两人能会面的概率。所以在实际问题中,除了要考虑某事件A的概率P(A)外，有时还要考虑在“事件B已经发生”的条件下，事件A发生的概率。例1：100件产品中有5件不合格品，而5件不合格品中又有3件是次品，2件是废品。现从100件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到的可能性都相同，求可见，P(A)≠P(A|B)。P(AB)=3/100。P(A)=1/6，若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB。由于我们已经知道B已发生,故B就变成了新的样本空间,于是就有(1)。III.条件概率的性质例2：有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类,4只属甲类,2只属乙类。不放回地抽取三极管两次,每次只抽一只。求在第一次抽到是甲类三极管的条件下,第二次又抽到甲类三极管的概率。由条件概率的定义：当P(A1A2…An)>0时，有
P(A1A2…An）
=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1).例3:一批灯泡共100只，其中10只是次品，其余为正品，作不放回抽取3只，每次取一只，求:第三次才取到正品的概率。例4：袋中有同型号小球b+r个，其中b个是黑球，r个是红球。每次从袋中任取一球，观其颜色后放回,并再放入同颜色，同型号的小球c个。若B={第一、第三次取到红球,第二次取到黑球}，求P(B)。将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式。设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)>0,i=1,2,…,n;另有一事件B,它总是与A1,A2,…,An之一同时发生，则在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易,但总可以适当地构造一组两两互斥的Ai,使B伴随着某个Ai的出现而出现，且每个P(AiB)容易计算。可用所有P(AiB)之和计算P(B)。某一事件B的发生有各种可能的原因Ai(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是由此可以形象地把全概率公式看成是：
由原因推结果，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了因果之间的关系。实际中还有下面一类问题：已知结果求原因。考虑上边例子：
记Ai={球取自i号箱}，i=1,2,3;B={取得红球}。该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出。它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率。例6:某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?现在来分析一下结果的意义：如果不做试验，抽查一人,他是癌症患者的概率P(A)=0.005。(2).检出阳性是否一定患有癌症?例7：8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶。求：所用的枪是校准过的概率。例8：一批同型号的螺钉由编号为I,II,III的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%,40%,25%。各台机器生产的螺钉的次品率分别为3%,2%和1%。现从该批螺钉中抽到一颗次品。求:这颗螺钉由I,II,III号机器生产的概率各为多少?由贝叶斯公式，得小结