第8章 状态空间模型和卡尔曼滤波.pdf

第十一章第十一章状态空间模型和卡尔曼滤波状态空间模型和卡尔曼滤波
StateSpaceModelsandKalmanFilter

上世纪60年代初，由于工程控制领域的需要，产生了卡
尔曼滤波(KalmanFiltering)。进入70年代初，人们明确提出
了状态空间模型的标准形式，并开始将其应用到经济领域。
80年代以后，状态空间模型已成为一种有力的建模工具。许
多时间序列模型，包括典型的线性回归模型和ARIMA模型都
能作为特例写成状态空间的形式，并估计参数值。在计量经
济学文献中，状态空间模型被用来估计不可观测的时间变量：
理性预期，测量误差，长期收入，不可观测因素（趋势和循
环要素）。状态空间模型在经济计量学领域其他方面的大量
应用请参见Harvey（1989）和Hamilton（1994）。
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在一般的统计模型中出现的变量都是可以观测到的，
这些模型以反映过去经济变动的时间序列数据为基础，利
用回归分析或时间序列分析等方法估计参数，进而预测未
来的值。状态空间模型的特点是提出了“状态”这一概念。
而实际上，无论是工程控制问题中出现的某些状态
（如导弹轨迹的控制问题）还是经济系统所存在的某些状
态都是一种不可观测的变量，正是这种观测不到的变量反
映了系统所具有的真实状态，所以被称为状态向量。这种
含有不可观测变量的模型被称为UC模型(Unobservable
ComponentModel)。

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UC模型通过通常的回归方程式来估计是不可能的，
必须利用状态空间模型来求解。状态空间模型建立了可
观测变量和系统内部状态之间的关系，从而可以通过估
计各种不同的状态向量达到分析和观测的目的。

EViews状态空间对象对单方程或多方程动态系统提
供了一个直接的、易于使用的界面来建立、估计及分析
方程结果。它提供了大量的建立、平滑、滤波及预测工
具，帮助我们利用状态空间形式来分析动态系统。

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利用状态空间形式表示动态系统主要有两个优点：

第一，状态空间模型将不可观测的变量(状态变量)
并入可观测模型并与其一起得到估计结果；

其次，状态空间模型是利用强有效的递归算法——
卡尔曼滤波来估计的。卡尔曼滤波可以用来估计单变量
和多变量的ARMA模型、MIMIC（多指标和多因果）模
型、马尔可夫转换模型以及变参数模型。

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§§11.111.1状态空间模型的定义状态空间模型的定义
在本节中，我们仅就如何定义并预测一个线性状态空间
模型做以简要的讨论。状态空间模型一般应用于多变量时间

序列。设yt是包含k个经济变量的k×1维可观测向量。这

些变量与m×1维向量αt有关，αt被称为状态向量。定义
“量测方程”(measurementequation)或称“信号方程”(signal
equation)为

，(11.1.1)
yt=Ztαt+dt+ut,t=1,2L,T

其中：T表示样本长度，Zt表示k×m矩阵，称为量测矩

阵，dt表示k×1向量，ut表示k×1向量，是均值为0，协方

差矩阵为Ht的不相关扰动项，即
E(u)=0var(u)=H(11.1.2)
ttt5
一般地，αt的元素是不可观测的，然而可表示成一阶马
尔可夫(Markov)过程。下面定义转移方程(transitionequation)
或称状态方程(stateequation)为

αt=Ttαt−1+ct+Rtεt,t=1,2，L,T(11.1.3)

其中：Tt表示m×m矩阵，称为状态矩阵，ct表示m×1向量，

Rt表示m×g矩阵，εt表示g×1向量，是均值为0，协方差矩阵

为Qt的连续的不相关扰动项，即
(11.1.4)
E(εt)=0var(εt)=Qt
量测方程和状态方程的扰动项的协方差矩阵用Ω表示

⎛ut⎞⎛Ht0⎞
Ω=var⎜⎟=⎜⎟
εt0Qt
⎝⎠⎝⎠6
当k=1时，变为单变量模型，量测方程可以写为

(11.1.5)
yt=Ztαt+dt+ut

2
var(ut)=σt=1,2,L,T

其中：Zt表示1×m矩阵，αt表示m×1状态向量，ut是方
差为σ2的扰动项。

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若使上述的状态空间模型成立，还需要满足下面两个假定：

(1)初始状态向量α0的均值为a0，协方差矩阵为P0，即

E(α0)=a0var(α0)=P0(11.1.6)

(2)在所有的时间区间上，扰动项ut和εt相互独立，而且

它们和初始状态α0也不相关，即
(11.1.7)
E(utε′s)=0s,t=1,2,L,T
且
′(11.1.8)
E(utα0′)=0，E(εtα0)=0

t=1,2,L,T
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量测方程中的矩阵Zt,dt,Ht与转移方程中的矩阵

Tt,ct,Rt,Qt统称为系统矩阵。如不特殊指出，它们都
被