状态空间模型和卡尔曼滤波.ppt

第11章状态空间模型和卡尔曼滤波在一般的统计模型中出现的变量都是可以观测到的，这些模型以反映过去经济变动的时间序列数据为基础，利用回归或时间序列分析等方法估计参数，进而预测未来的值。状态空间模型的特点是提出了“状态”这一概念。实际上，无论是工程控制问题中出现的某些状态（如导弹轨迹）还是经济系统所存在的某些状态都是一种不可观测的变量，正是这种观测不到的变量反映了系统所具有的真实状态，所以被称为状态向量。这种含有不可观测变量的模型被称为UC模型(UnobservableComponentModel)，UC模型通过通常的回归方程式来估计是不可能的，必须利用状态空间模型来求解。状态空间模型建立了可观测变量和系统内部状态之间的关系，从而可以通过估计各种不同的状态向量达到分析和观测的目的。§11.1状态空间模型一般地，t的元素是不可观测的，然而可表示成一阶马尔可夫(Markov)过程。下面定义转移方程(TransitionEquation)为
(11.1.3)
式中Tt是mm矩阵，ct是m1向量，Rt是mg矩阵，t是g1向量，是均值为0，协方差矩阵为Qt的连续的不相关扰动项，即
(11.1.4)若使上述的状态空间模型成立，还需要满足下面两个假定：
(1)初始状态向量0的均值为a0，协方差矩阵为P0，即
(11.1.6)
(2)在所有的时间区间上，扰动项t和t是相互独立的，而且它们和初始状态0也不相关，即
(11.1.7)
且
(11.1.8)量测方程中的矩阵Zt,dt,Ht与转移方程中的矩阵Tt,ct,Rt,Qt统称为系统矩阵。如不特殊指出，它们都被假定为非随机的。因此，尽管它们能随时间改变，但是都是可以预先确定的。对于任一时刻t，yt能够被表示为当前的和过去的t和t及初始向量0的线性组合，所以模型是线性的。[例1]一阶移动平均模型MA(1)
(11.1.9)
通过定义状态向量t=(yt,t)可以写成状态空间形式
(11.1.10)

(11.1.11)

这种形式的特点是不存在量测方程噪声。对于任何特殊的统计模型，t的定义是由结构确定的。它的元素一般包含具有实际解释意义的成分，例如趋势或季节要素。状态空间模型的目标是，所建立的状态向量t包含了系统在时刻t的所有有关信息，同时又使用尽可能少的元素。所以如果状态空间模型的状态向量具有最小维数，则称为最小实现(MinimalRealization)。对一个好的状态空间模型，最小实现是一个基本准则。然而，对于任一特殊问题的状态空间模型的表示形式却不是惟一的，这一点很容易验证。考虑通过定义一个任意的非奇异矩阵B，得到新的状态向量*t=Bt。用矩阵B左乘转移方程(11.1.3)，得到

(11.1.12)
式中T*t=BTtB-1，c*t=Bct，R*t=BRt。相应的量测方程是
(11.1.13)
式中Z*t=ZtB-1。[例2]二阶自回归模型AR(2)
(11.1.14)
考虑两个可能的状态空间形式(k=1,m=2)是
(11.1.15)

(11.1.16)
换一种形式

(11.1.17)系统矩阵Zt，Ht，Tt，Rt，Qt依赖于一个未知参数的集合。状态空间模型的一个主要的任务就是估计这些参数，如在例题中的MA和AR模型的参数。为了和模型中的其它参数，如ct或dt相区别，这些参数被称为超参数(Hyperparameters)。超参数确定了模型的随机性质，而在ct和dt中出现的参数仅影响确定性的可观测变量和状态的期望值。二、可变参数模型的状态空间表示
通常的回归模型可用下式表示，即
(11.1.18)
式中yt是因变量，xt是1m的解释变量向量，是待估计的未知参数向量，t是扰动项。这种回归方程式的估计方法一般是使用普通最小二乘法(OLS)、工具变量法等计量经济模型的常用方法。但是不管用其中的哪一种方法，所估计的参数在样本期间内都是固定的。近年来，我国由于经济改革、各种各样的外界冲击和政策变化等因素的影响，经济结构正在逐渐发生变化，而用以往的OLS等固定参数模型表现不出来这种经济结构的变化，因此，需要考虑采用可变参数模型(Time-varyingParameterModel)。下面利用状态空间模型来构造可变参数模型。量测方程：
(11.1.19)
转移方程：
(11.1.20)
～(11.1.21)
在(11.1.19)式中，可变参数t是不可观测变量，必须利用可观测变量yt和xt来估计。t对应于(11.1.1)中的状态向量t，与(11.1.1)相对应，Zt=xt，dt=0。在(11.1.20)式中假定参数t的变动服从于AR(1)模型（也可以简单地扩展为AR(p)模型）。与(11.1.3)相对应，Tt=，ct=0，Rt=Im。根据(11.1