数学建模之初等模型.ppt

数学模型1---初等模型数学建模的例子模型的描述：
由于是单向运动过程，考虑一维坐标系。设原点O是交通灯位置，x方向是汽车运行方向。以绿灯亮时为起始时刻，L为车长，D为静止时刻两车距离，T为两车运动时的延迟时间。假设规定它们为常数。

设为第n辆车的起始位置，为第n辆车的启动时间，则

且

另外，汽车不会永远加速前进。我们设汽车在加速到某个给定速度
后匀速前进，则加速的时间是

思考题
（1）分析绿灯亮的时间长度与穿过车辆数之间的关系。
（2)如果给出以下四个路口的绿灯亮时的车辆通过数，

如何评价你的模型？

（3）如果只有红绿灯，则绿灯转红灯时，部分车辆在路上没有穿过十字路口。为了解决这一问题，我们把绿灯时间的一部分变为黄灯。建模描述黄灯的时间长度。
例2：铲雪机的工作问题分析和建模工作路面长度：

令v(t)=0解得

为无法工作的时刻。此时路面工作长度

问题1：下雪在一小时内速度不变是不合情理的，修改这一假设。
问题2：铲雪速度的线性化假设是不对的。一般应假设铲雪机的功率不变。在此假设下修改模型。
问题3：在降雪过程中，清理后的地面上还会降雪，针对这种情况建立模型。
例3：人员疏散问题由于问题许多数据没有明确给出，我们首先给出简化假设：
（1）门和走廊只能并排走一个人，每个人有条不紊地匀速向前走；
（2）疏散队列中人与人间隔是常数。

问题分析：根据我们的问题，最佳的疏散方式应该使得两个门疏散的人同时疏散完。设共有m间教室，其中左边的第1,2,…,l-1房间向左疏散，第l+1,…,m房间向右疏散，第l房间一部分向左疏散，另一部分向右疏散。
先考虑向左疏散的人用了多少时间。
设疏散队列中人与人间隔是d，行进速度v，房宽为。第i个房间第一个人到门口的时间为，则第k个房间的人向左疏散的时间为
问题：多个教室的学生可能出现重叠！

为了解决这一问题，我们考虑以下疏散方法：当出现两个班学生争路时，规定前面的班级先走。对第一个房间和第二个房间，这种条件为
（1）

类似可以给出第三个房间和第二个房间学生不重叠的条件。这是一个复杂的递推过程。为了描述这一过程，我们引入新的时间变量
：第i个房间的学生在第i-1个房间门口开始行走的时间。由（1）式

为什么要引入？
取

则

一般有向左疏散的总时间就是最后一个人离开的时间。
如果共l个房间，则

其中x是第i个房间向左疏散的人数。
类似可以求出向右疏散的总时间。
求x使得

即得到疏散方案。

思考题：
（1）对多层的楼房的疏散问题应如何分析？
（2）疏散时人与人之间的间距多大较好？