单因素方差分析.ppt

第九章、方差分析及回归分析一、为什么要学习方差分析？若进行5个样本平均数的差异显著性比较，则需进行10次两两均数差异显著性测验，
H0:μ1=μ2,μ1=μ3,μ1=μ4,μ1=μ5；
μ2=μ3,μ2=μ4,μ2=μ5；
μ3=μ4,μ3=μ5；
μ4=μ5.
因此当样本平均数的个数k≥3时，采用上章学习的方法进行差异显著性测验，工作量是相当大的。

采用t测验法，每次只能利用两组观察值估计试验误差，与利用全部观察值估计的试验误差相比，精确性低，误差的自由度也低，从而使检验的灵敏度也降低，容易掩盖差异的显著性，增大犯第二类错误的可能。
譬如，有5个处理，每个处理重复6次，共有观察值30个，若进行t测验每次只利用12个观察值，误差的自由度为2（6-1）=10，若利用30个观察值估计试验误差，误差自由度为5（6-1）=25。自由度越小，标准差越大，灵敏度低；自由度越大，标准差越小，灵敏度高。

因此对多个处理平均数进行差异显著性测验，不宜采用t测验，而需采用一种新的统计方法——方差分析法。1、方差的概念：
2、方差分析的概念：
变异原因的数量分析
将试验数据的总变异分解为不同来源的变异，从而评定不同变异来源的相对重要性的一种统计方法。
将k个样本的观察值和平均数作为一个整体加以考虑，把观察值总变异的自由度和平方和分解为度量不同变异来源的自由度与平方和，进而获得不同来源的总体方差的估计值，计算这些估计值的适当比值，并测验假设
H0:μ1=μ2=…=μk§1单因素试验的方差分析化学生产中，因素有：原料成分、原料剂量、催化剂、反应温度、压力、反应时间、机器设备、操作人员水平等。
目的：决定各种因素，使生产过程得以稳定。
方法：先进行试验。
试验的分析：利用方差分析来分析试验的结果。
根据影响试验结果的因素的多少分为单因素试验的方差分析和多因素试验的方差分析。两个例子第三个例子问题的讨论--（单因素试验）单因素试验的方差分析假定，各个水平Aj(j=1,2,…,s)下样本X1j，X2j，…，
来自具有相同方差σ2，均值分别为μj(j=1,2…s)的正态总体，μj和σ2未知且在不同水平Aj下的样本之间相互独立。方差分析的任务

而假设（1.2)等价于假设

我们来导出上述假设检验的检验统计量。(二）平方和的分解上式的第三项为SE称为误差平方和，SA表示Aj水平下的样本均值与数据总平均的差异，叫做效应平方和，他是由水平Aj的效应的差异以及随机误差引起的。（三）SE，SA的统计特性1、SE的统计特性可以计算
这里
2、SA的统计特性，它是s个变量
的平方和，且仅有一个线性约束条件:

因此的知SA的自由度是s-1。
（由（1，3），（1，6）及Xij的独立性得知
经计算可以证明SE，SA的是相互独立的，且H0当为真时

（四）假设检验问题的拒绝域
由（1，15）式，当H0为真时

所以SA/(s-1)是σ2的无偏估计,而当当H1为真时，

这时
而由于由于

所以检验问题(1，2)’的拒绝域的形式是：

其中k由预先给定的显著性水平α确定，由此得此检验问题的拒绝域是：

因此，可以得到单因素方差分析表如下页单因素试验的方差分析表（1，21）判断：因为Fα(2,12)=3.89<32.92，故在水平0.05下拒绝H0，即认为各台机器生产的薄板厚度有显著差异。（五）未知参数的估计具体做法是
由于
于是

因此均值差μj-μk=δj-δk的置信水平为1-α的置信区间是例5求例4中的未知参数σ2，μj，δj的点估计及均值差的置信水平为0.95的置信区间。
解：经计算

由t0.025(n-s)=t0.025(12)=2.1788，得

故μ1–μ2，μ1–μ3，μ2–μ3的置信水平为0.95的置信区间分别为例6设在第二个例子中，四类电路的响应时间的总体均为正态分布，切割总体的方差相同，但参数未知，并且个样本相互独立。取水平α=0.05，检验各类电路的响应时间是否有显著差异。解以μ1，μ2，μ3，μ4，记类型ⅰ，ⅱ，ⅲ，ⅳ四种电路的响应时间总体平均值。我们需要检验：
H0：μ1=μ2=μ3=μ4，
H1：μ1，μ2，μ3，μ4不全相等
由于n=18,s=4,n1=n2=n3=5,n4=3，因为F0.05(3,14)=3.34<3.76，故在水平0.05下拒绝H0，认为各类型电路的响应时间有显著差异。#