微分中值定理与泰勒公式经典习题.pdf

一.设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上每一个x,函数f(x)的值都在开

区间(0,1)内,且,证明:在(0,1)内有且仅有一个x,使f(x)=x.

证明:由条件知0<f(x)<1.令F(x)=f(x)－x,于是F(0)>0,F(1)<0,

所以存在(0,1),使F()=0.假设存在1,2(0,1),不妨假设2<1,满

足f(1)=1,f(2)=2.于是1－2=f(1)－f(2)=.(2<

<1).所以,矛盾.

二.设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且.证明:在(0,

1)内存在一个,使.

证明:,其中1满足.

由罗尔定理,存在,满足0<<1,且.

三．设函数f(x)在[1,2]上有二阶导数,且f(1)=f(2)=0,又F(x)=(x－1)2f(x),

证明:在(1,2)内至少存在一个,使.

证明:由于F(1)=F(2)=0,所以存在1,1<1<2,满足.所以

.所以存在,满足1<<1,且.

四.设f(x)在[0,x](x>0)上连续,在(0,x)内可导,且f(0)=0,试证:在(0,x)

内存在一个,使.

证明:令F(t)=f(t),G(t)=ln(1+t),在[0,x]上使用柯西定理

,(0,x)

所以,即
五.设f(x)在[a,b]上可导,且ab>0,试证:存在一个(a,b),使

证明:不妨假设a>0,b>0.令.在[a,b]上使用拉格朗日定理

六.设函数f(x),g(x),h(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明:存在一个(a,
b),使

证明:令,则F(a)=F(b)=0,所以存在一个(a,b),
使

七.设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,试证:至少存在一个(0,
1),使

证明:(,二边积分可得,所以

)
令.由f(0)=f(1)=0知存在(0,1),.所以

F()=F(1)=0,所以存在(,1),.立即可得

八.设f(x)在[x1,x2]上二阶可导,且0<x1<x2,证明:在(x1,x2)内至少存在一个,
使

证明:令,在[x1,x2]上使用柯西定理.在(x1,x2)内至少

存在一个,满足

九.若x1x2>0,证明:存在一个(x1,x2)或(x2,x1),使

证明:不妨假设0<x1<x2.令,在[x1,x2]上使用柯西定理.

在(x1,x2)内至少存在一个,满足

立即可得.
十.设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,g(x)0,

试证:至少存在一个(a,b),使

证明:令,所以F(a)=F(b)=0.由罗尔定理至少存在一个(a,b),

使

,

于是.

十一.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有二阶连续导数,试证:至少存在一个
(a,b),使

证明:x,t[a,b],有

取t=,分别取x=b,x=a,得到

二式相加,得

所以存在(a,b),使得

十二.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明:存在、

(a,b),使得

证明:对于在[a,b]上使用拉格朗日定理,在(a,b)内存在,使得

所以在(a,b)内存在,使得

即是