微分中值定理及泰勒公式的意义.doc

微分中值定理及泰勒公式的意义
2用运动形容微分中值定理
1.1罗尔定理

*不要把上图想象成了平面上的运动，而要想成在一条直线上，只能以这样的图形表示出来
一个物体运动一段时间后又回到原来的位置，在它运动的最远点速度一定为0。因为在该点它必须改变运动方向才可以回到原来的位置。

1.2柯西中值定理

A和B竞速，5秒后两物体停止在如图的位置。B是A位移的2倍，途中肯定在某时刻B的速度是A的正好2倍。分析如下：
假设开始B的速度是A的100倍，B跑的实在太快了，如果它一直这样，最终将把A拉的无影无踪。
开始如果B比A慢，如果B一直不思进取，5秒后B不但不能是A的2倍，而且还会被A拉在身后。
结论是：途中必须有B是A速度2倍的时刻，来调和位移的前后不均。

1.3拉格朗日中值定理

当B以单位速度运行时，特殊的柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

1.4泰勒公式
先看下这些简单的运动
简单的运动方程描述1单位位移t单位速度t22!单位加速度tnn!单位n阶运动以ht=tn+1(n+1)!为例，在t=0时刻，它没有位移、没有速度、没有加速度、没有n阶运动……它只有单位的n+1阶运动。
假如另一个运动未知形态的运动ε(t)，只知道它在t=0时刻，也没有位移、没有速度、没有n阶运动……有n+1阶以后的运动。那么让h(t)与ε(t)竞速。上面的条件使它们处于同一起跑线，不但初始位移相同，他们的初始速度、加速度……都是一样的，并且都是0。

t时刻，如果A是B位移的2倍，那么在这中间某时刻t1，A必须是B速度的2倍。否则他无法位移是B的2倍。
t1时刻，A的速度是B的速度的2倍，那么在中间某时刻t2，A的加速度必须是B的2倍。如果没有这么大的加速度A的速度不可能是B的速度的2倍。
以此类推，就得到了εn+1(tn+1)hn+1(tn+1)=…=ε2(t2)h2(t2)=ε'(t1)h'(t1)=ε(t)h(t)=2
由于h(t)是单位的n+1阶运动h(n+1)(t)=1，所以有
εn+1τ=ε(t)h(t)其中τ∈(0,t)
看到上面的算式，想起了泰勒公式的余项了吗?
完整的写出泰勒公式：
ft=f0+f'0t1!+f''0t22!+…+f(n)0tnn!+ε(t)
泰勒公式的多项式部分：
p(t)=f0+f'0t1!+f''0t22!+…+f(n)0tnn!
p(t)是一个在t=0时刻，与f(t)具有相同的：初始位移、初始速度、初始加速度……初始n阶运动。大家还有什么好的理解吗？可以加QQ：924465550。
*上述的都不是数学证明，非常不严密。只是对问题的理解。

1用曲线去形容微分中值定理（一些微积分的书会介绍的更详细）
1.1罗尔定理

两端点相等，中间必然有平行于x轴的切点
1.2拉格朗日中值定理
必然有平行两端点的直线
1.3柯西中值定理

拉格朗日中值定理的参数方程形式
1.4泰勒公式
用函数曲线解释不方便