四2012年考研数学春季基础班线性代数讲义(汤家凤).doc

第一讲行列式

一、基本概念
定义1逆序—设是一对不等的正整数，若，则称为一对逆序。
定义2逆序数—设是的一个排列，该排列所含的逆序总数称为该排列的逆序数，记为，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定义3行列式—由个数组成的下列记号称为阶行列式，规定
。
定义4余子式与代数余子式—把行列式中元素所在的行元素和列元素去掉，剩下的行和列元素按照元素原来的排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式。

二、几个特殊的高阶行列式
1、对角行列式—形如，称为对角行列式，对角行列式等于其对角线上元素之积。
2、上（下）三角行列式—称
及为上三角行列式和下三角行列式，它们都等于主对角线上的元素之积。
3、范得蒙行列式—形如
称为阶范得蒙行列式，且
。
三、行列式的性质
（一）把行列式转化为特殊行列式的性质
1、行列式与其转置行列式相等，即。
2、对调两行（或列）行列式改变符号。
3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。
推论：（1）行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。
（2）行列式某两行（或列）相同，行列式为零。
（3）行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。
4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即。
5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即
，其中为任意常数。
（二）行列式降阶的性质
6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即
，
。
7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。

四、行列式的应用—克莱姆法则
对方程组（）及
（）
其中称为非齐方程组，称为对应的齐次方程组或的导出方程组。
令，其中称为系数行列式，我们有
定理1只有零解的充分必要条件是；有非零解（或者有无穷多个解）的充分必要条件是。
定理2有唯一解的充分必要条件是，且；当时，要么无解，要么有无穷多个解。
例题部分
1、计算行列式（答案：）
2、设，求（1）；（2）。
3、设为4维列向量,且，，
求。
4、计算，其中。

第二讲矩阵
一、基本概念及其运算
1、矩阵—形如称为行列的矩阵，记为，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。
（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为。
（2）对，若，称为阶方阵。
（3）称为单位矩阵。
（4）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。
2、对称矩阵—设，若，称为对称矩阵。
4、转置矩阵—设，记，称为矩阵的转置矩阵。
5、伴随矩阵—设为矩阵，将矩阵中的第行和列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，同时称为元素的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记，称为矩阵的伴随矩阵。
6、矩阵的四则运算
（1）矩阵加减法—设，，则
。

（2）矩阵乘法
1）数与矩阵的乘法—设，则。
2）矩阵与矩阵的乘法：
设，，则
，其中（）。
[注解]（1）推不出，如，。
（2）。
（3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。
若，则，再如
。
（4）方程组的三种形式
形式一：方程组的基本形式
（）与（），
（）（）分别称为齐次与非齐线性方程组。
记则方程组（）、（）可改写为
形式二：方程组的矩阵形式
，（）
，（）
令，则有

形式三：方程组的向量形式
（）
（）
二、矩阵的逆阵
（一）逆阵问题的产生
对一元一次方程，其解有如下几种情况：
（1）当时，两边乘以得。
（2）当时，方程的解为一切实数。
（3）当时，方程无解。
设为阶矩阵，对方程组，若存在阶矩阵，使得，则在方程组两边左乘，得，于是。
（二）逆矩阵的定义
设为阶矩阵，若存在，使得，称可逆，称为的逆矩阵，记为。
（三）两个问题
问题1设为阶矩阵，何时可逆？
问题2若可逆，如何求？
（四）逆阵存在的充分必要条件
定理设为阶矩阵，则矩阵可逆的充分必要条件是。
（五）逆阵的求法
（1）方法一：伴随矩阵法。
（2）初等变换法。
（六）初等变换法求逆阵的思想体系
第一步，方程组的三种同解变形
（1）对调两个方程；
（2）某个方程两边同乘以非零常数；
（3）某个方程的倍数加到另一个方程，
以上三种变形称为方程组的三种同解变形。
第二步，矩阵的三种初等行变换
（1）对调矩阵的两行；
（2）矩阵的某行乘以非零常数倍；
（3）矩阵某行的倍数加到另一行，
以上三种变换称为矩阵的三种初等行变换。
若对矩阵的列进行以上三种变换，称为矩阵的初等列变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。
第三步，三个初等矩阵及