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2014考研数学线性代数基础班讲义—汤家凤

2014考研数学线性代数基础班讲义

第一章行列式

一、基本概念
定义1.1逆序—设i,j是一对不等的正整数，若i>j，则称(i,j)为一对逆序。
定义逆序数设是的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为
1.2—i1i2Lin1,2,L,n
。
τ(i1i2Lin)

a11a12La1n

a21a22La2n
定义1.3行列式—称D=称为n阶行列式，规定
LLLL

an1an2Lann
D=(−1)τ(j1j2Ljn)aaa。
∑1j12j2Lnjn
j1j2Ljn

a11a12La1n

a21a22La2n
定义1.4余子式与代数余子式—把行列式D=中元素aij所在的i行元素和j列元素去
LLLL

an1an2Lann

掉，剩下的n−1行和n−1列元素按照元素原来的排列次序构成的n−1阶行列式，称为元素aij的余子式，记为

i+j
Mij，称Aij=(−1)Mij为元素aij的代数余子式。

二、几个特殊的高阶行列式

a10L0

0a2L0
1、对角行列式—。
=a1a2Lan
LLOL

00Lan
2、上（下）三角行列式—

a11a12La1na110L0

0a22La2na21a22L0
，。
=a11a22Lann=a11a22Lann
LLOLLLOL

00Lannan1an2Lann
AOACAO
3、=|A|⋅|B|，=|A|⋅|B|，=|A|⋅|B|。
OBOBCB

1
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11L1
aaa
4、范得蒙行列式—形如12Ln称为阶范得蒙行列式，且
V(a1,a2,L,an)=n
LLOL
n−1n−1n−1
a1a2Lan

11L1

a1a2Lan
。
V(a1,a2,L,an)==(ai−aj)
LLOL1≤Cj<i≤n
n−1n−1n−1
a1a2Lan

【注解】的充分必要条件是两两不等。
V(a1,a2,L,an)≠0a1,a2,L,an

三、行列式的计算性质
（一）把行列式转化为特殊行列式的性质

1、行列式与其转置行列式相等，即D=DT。

2、对调两行（或列）行列式改变符号。
3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。
推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。
推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。
推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。
4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即

a11a12La1na11a12La1na11a12La1n
LLLLLLLLLLLL
。
ai1+bi1ai2+bi2Lain+bin=ai1ai2Lain+bi1bi2Lbin
LLLLLLLLLLLL

an1an2Lannan1an2Lannan1an2Lann
5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即

a11a12La1na11a12La1n
LLLLLLLL

ai1ai2Lainai1+kaj1ai2+kaj2Lain+kajn
LLLL=LLLL，其中k为任意常数。

aj1aj2Lajnaj1aj2Lajn
LLLLLLLL

an1an2Lannan1an2Lann

【例题1】设α,β,γ1,γ2,γ3为4维列向量,且|A|=|α,γ1,γ2,γ3|=4，

|B|=|β,γ1,3γ2,γ3|=21，求|A+B|。

321
【例题2】用行列式性质1~5计算1−23。
248

2
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2−512
−37−14
【例题3】计算行列式D=。
5−927
4−612

1+a111L1

11+a21L1
【例题】计算，其中。
4Dn=111+a3L1ai≠0(1≤i≤n)
LLLLL

111L1+an
（二）行列式降阶的性质
6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即

，
D=ai1Ai1+ai2Ai2+L+ainAin(i=1,2,L,n)

。
D=a1jA1j+a2jA2j+L+anjAnj(j=1,2,L,n)
7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。
321
【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算1−23。
248

2−512
−37−14
【例题2】设D=，求（1）M+M+M+M；（2）M+M。
5−927212223243132
4−612

四、行列式的应用—克莱姆法则

⎧a11x1+a12x2+L+a1nxn=0
⎪
⎪a21x1+a22x2+L+a2nxn=0
对方程组⎨（I）及
⎪L
⎪
⎩an1x1+an2x2