2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义汤家凤)320.doc

2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义
2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-主讲：汤家凤
第一讲行列式
一、基本概念
定义1逆序—设是一对不等的正整数，若，则称为一对逆序。
定义2逆序数—设是的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定义3行列式—称称为阶行列式，规定
。
定义4余子式与代数余子式—把行列式中元素所在的行元素和列元素去掉，剩下的行和列元素按照元素原来的排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式。
二、几个特殊的高阶行列式
1、对角行列式—形如称为对角行列式，。
2、上（下）三角行列式—称及为上（下）三角行列式，，。
3、，，。
4、范得蒙行列式—形如称为阶范得蒙行列式，且。
【注解】的充分必要条件是两两不等。
三、行列式的计算性质
（一）把行列式转化为特殊行列式的性质
1、行列式与其转置行列式相等，即。
2、对调两行（或列）行列式改变符号。
3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。
推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。
推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。
推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。
4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即。
5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即
，其中为任意常数。
【例题1】设为4维列向量,且，
，求。
【例题2】用行列式性质1~5计算。
【例题3】计算行列式。
【例题4】计算，其中。
（二）行列式降阶的性质
6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即
，
。
7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。
【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算。
【例题2】设，求（1）；（2）。
四、行列式的应用—克莱姆法则
对方程组（）及
（）
其中称为非齐方程组，称为对应的齐次方程组或的导出方程组。
令，其中称为系数行列式，我们有
定理1只有零解的充分必要条件是；有非零解（或者有无穷多个解）的充分必要条件是。
定理2有唯一解的充分必要条件是，且；当时，要么无解，要么有无穷多个解。
第二讲矩阵
一、基本概念及其运算
（一）基本概念
1、矩阵—形如称为行列的矩阵，记为，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。
（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为。
（2）对，若，称为阶方阵。
（3）称为单位矩阵。
（4）对称矩阵—设，若，称为对称矩阵。
（5）转置矩阵—设，记，称为矩阵的转置矩阵。
2、同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。
3、伴随矩阵—设为矩阵，将矩阵中的第行和列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，同时称为元素的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记，称为矩阵的伴随矩阵。
（二）矩阵的三则运算
1、矩阵加减法—设，，则
。
2、数与矩阵的乘法—设，则。
3、矩阵与矩阵的乘法：
设，，则
，其中（）。
【注解】（1）推不出。
（2）。
（3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。
若，则，再如
。
（4）方程组的三种形式
形式一：基本形式
（）与（）
（）（）分别称为齐次与非齐线性方程组。
记则方程组（）、（）可改写为
形式二：方程组的矩阵形式
，（）
，（）
令，则有
形式三：方程组的向量形式
（）
（）
二、矩阵的两大核心问题—矩阵的逆矩阵与矩阵的秩
【背景】初中数学问题：对一元一次方程，其解有如下几种情况
（1）当时，两边乘以得。
（2）当时，方程的解为一切实数。
（3）当时，方程无解。
矩阵形式的线性方程组解的联想：对线性方程组，其解有如下几种情况
（1）设为阶矩阵，对方程组，存在阶矩阵，使得，则。
（此种情况产生矩阵的逆阵理论）
（2）设为阶矩阵，对方程组，不存在阶矩阵，使得，方程组是否有解？
（3）设是矩阵，且，方程组是否有解？
（后两种情况取决于方程组的未知数个数与方程组约束条件的个数即矩阵的秩）
（一）逆矩阵
1、逆矩阵的定义—设为阶矩阵，若存在，使得，称可逆，称为的逆矩阵，记为。
【例题1】设为阶矩阵，且，求。
【例题2】设为阶矩阵，且，求。
2、关于逆矩阵的两个问题
【问题1】设为阶矩阵，何时可逆？
【问题2】若可逆，如何求？
3、逆阵存在的充分必要条件
定理设为阶矩阵，则矩阵可逆的充分必要条件是。
4、逆阵的求法
（1）方法一：伴随矩阵法。
（2）初等变换法。
5、初等变换法求逆阵的思想体系