2012年考研数学春季基础班线性代数讲义(汤家凤) (2).pdf

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课程配套讲义说明

1、课程名称

2012年考研数学春季基础班线性代数

2、课程内容

此课程讲授线性代数基础阶段内容，通过梳理知识，使学员掌握整体知识脉
络，掌握各个知识点，了解考试重难点。

3、主讲师资

汤家凤——主讲高等数学、线性代数。
著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学
竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，
在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真
正掌握正确的解题方法。

4、讲义：18页（电子版）

文都网校

2011年3月28日

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第一讲行列式
一、基本概念

定义1逆序—设i,j是一对不等的正整数，若ij，则称(,)ij为一对逆序。

定义2逆序数—设i1i2in是1,2,,n的一个排列，该排列所含的逆序总数称为该排列的逆

序数，记为()i1i2in，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排

列。

a11a12a1n
aaa
定义3行列式—由n2个数组成的下列记号D21222n称为n阶行列式，规定


an1an2ann

()jjj
D(1)12naaa。
1j12j2njn
j1j2jn

a11a12a1n
aaa
定义4余子式与代数余子式—把行列式D21222n中元素a所在的i行元
ij

an1an2ann

素和j列元素去掉，剩下的n1行和n1列元素按照元素原来的排列次序构成的n1阶行

ij
列式，称为元素aij的余子式，记为Mij，称AMij(1)ij为元素aij的代数余子式。
二、几个特殊的高阶行列式

a100
0a0
1、对角行列式—形如2，称为对角行列式，对角行列式等于其对角线上元


00an
素之积。
2、上（下）三角行列式—称

a11a12a1na1100
0aaaa0
222n及2122为上三角行列式和下三角行


00annan1an2ann
列式，它们都等于主对角线上的元素之积。
3、范得蒙行列式—形如

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111
aaa
V(,,,)aaa12n称为n阶范得蒙行列式，且
12n
n1n1n1
a1a2an
111
aaa
12n。
V(,,,)a1a2an()aiaj
1jin
n1n1n1
a1a2an
三、行列式的性质
（一）把行列式转化为特殊行列式的性质

1、行列式与其转置行列式相等，即DDT。

2、对调两行（或列）行列式改变符号。
3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。
推论：（1）行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。
（2）行列式某两行（或列）相同，行列式为零。
（3）行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。
4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即

a11a12a1na11a12a1na11a12a1n


ai1bi1ai2bi2ainbinai1ai2ainbi1bi2bin。


an1an2annan1an2annan1an2ann
5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即

a11a12a1na11a12a1n


ai1ai2ainai1kaj1ai2kaj2ainkajn
，其中k为任意常数。

aj1aj2ajnaj1aj2ajn


an1an2annan1an2ann
（二）行列式降阶的性质
6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即

Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i1,2,,n)，

Da1jA1ja2jA2janjAnj(j1,2,,n)。

7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。
四、行列式的应用—克莱姆法则

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